Estude a integrabilidade das funções dadas.
f(x, y, z) = 2 x^2 y + x z^3 em B = {(x, y, z): 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1} e y x^2 <= z <= y^2 + x^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que estudar a integrabilidade da função na região . Para isso, vamos precisar saber sobre integrabilidade de funções de várias variáveis, continuidade e propriedades das regiões de integração.

Passo 2

Para determinar se a função é integrável na região , vamos verificar se ela é contínua nesse domínio. Sabemos que funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio. No caso, é uma combinação de termos polinomiais, o que garante que ela é contínua para todos os valores de , e .

Passo 3

Além disso, precisamos verificar se a região é limitada e fechada. Observando as condições dadas:
percebemos que todas as variáveis estão restritas a intervalos finitos, o que faz com que seja um conjunto compacto em .

Passo 4

De acordo com o Teorema de Integrabilidade, uma função contínua em um conjunto compacto é integrável. Como já verificamos que é contínua e que é compacto, podemos concluir que a função é integrável sobre essa região.

Resposta

Portanto, a função é integrável na região .

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