Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e e .
Passo 1
Beleza, galera! Temos um exercício de cálculo que pede para calcular uma integral tripla sobre uma região B. A função que vamos integrar é , e a região B é definida por com . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais em coordenadas esféricas ou elipsoidais e como mudar de coordenadas para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região B. A equação representa uma elipsoide. Para simplificar, podemos fazer uma mudança de coordenadas que transforma essa elipsoide em uma esfera. Vamos definir:
Ao substituir, a equação da elipsoide fica:
Agora estamos trabalhando com uma esfera de raio 1, o que facilita muito a integração.
Passo 3
Precisamos também ajustar a função para a nova coordenada . Como , a função continua sendo .
Passo 4
Não podemos esquecer de ajustar o elemento de volume para as novas coordenadas. A transformação que fizemos tem um jacobiano, que é o determinante da matriz das derivadas parciais das novas coordenadas em relação às antigas. Nesse caso, o jacobiano é:
Então, o elemento de volume fica .
Passo 5
Agora, a integral tripla original transforma-se em:
integral triplaB z , dx , dy , dz = integral triplau^2+v^2+w^2 <= 1 w times 1.5 , du , dv , dw
Como estamos integrando sobre uma esfera completa, podemos passar para coordenadas esféricas.
Passo 6
Em coordenadas esféricas, temos:
u = rho sin phi cos theta, v = rho sin phi sin theta, w = rho cos phi
E o elemento de volume é . Não esquece do jacobiano!
Passo 7
Substituindo na integral, fica:
integral triplaB z , dx , dy , dz = 1.5 integral0^2pi integral0^pi2 integral0^1 (rho cos phi) times rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Aqui, vai de 0 a porque .
Passo 8
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integremos em integral0^1 rho^3 cos phi sin phi , drho = cos phi sin phi [ rho^44 ]0^1 = 14 cos phi sin phi :
Passo 9
Agora, integramos em integral0^pi2 14 cos phi sin phi , dphi = 14 [ sin^2 phi2 ]0^pi2 = 14 times 12 = 18 :
Passo 10
Por último, integramos em integral0^2pi 18 , dtheta = 18 times 2pi = pi4 :
Passo 11
A região B é a parte superior de uma elipsoide centrada na origem, estendendo-se até e limitado por . Imagine uma esfera alongada ao longo dos eixos x e y, cortada pela metade superior.