Use integral tripla para calcular o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica dos sólidos.
S é o sólido compreendido entre raiz(x^2 + y^2) e x^2 + y^2 = 2 z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido usando uma integral tripla. O sólido S é definido entre duas superfícies: e . Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar nossos cálculos, já que as equações envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Lembrando que:
Então, as superfícies ficam:
  1. vira
  2. vira , ou seja,

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Precisamos encontrar o valor de onde as duas superfícies se interceptam:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Rearranjando:
Fatorando:
Então, ou . Isso significa que varia de 0 a 2.
Para , em cada , ele varia da superfície inferior até a superfície superior .
O ângulo varia de 0 a para cobrir toda a volta ao redor do eixo z.

Passo 4

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em :
Agora, integramos em :
Por fim, integramos em :

Resposta

O volume do sólido S é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados