Use integral tripla para calcular o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica dos sólidos.
S é o sólido compreendido entre
e
.
S é o sólido compreendido entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido usando uma integral tripla. O sólido S é definido entre duas superfícies:
e
. Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar nossos cálculos, já que as equações envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Lembrando que:
Então, as superfícies ficam:
-
vira -
vira , ou seja,
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Precisamos encontrar o valor de
onde as duas superfícies se interceptam:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Rearranjando:
Fatorando:
Então,
ou
. Isso significa que
varia de 0 a 2.
Para
, em cada
, ele varia da superfície inferior
até a superfície superior
.
O ângulo
varia de 0 a
para cobrir toda a volta ao redor do eixo z.
Passo 4
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em
:
Agora, integramos em
:
Por fim, integramos em
:
Resposta
O volume do sólido S é
unidades cúbicas.