Considere o conjunto B: x^2 + y^2 <= 9 e 0 <= z <= x + y.
Escreva B em coordenadas esféricas.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um conjunto definido pelas condições e . O objetivo aqui é reescrever esse conjunto em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar lembrar como são as coordenadas esféricas e como transformar as desigualdades dadas para esse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três parâmetros: (a distância do ponto à origem), (o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e (o ângulo entre o vetor posição e o eixo z). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
Vamos usar essas relações para transformar as desigualdades do conjunto para coordenadas esféricas.

Passo 3

Vamos começar com a primeira desigualdade . Substituindo e pelas expressões em coordenadas esféricas:
Isso simplifica para:
Sabemos que , então:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda desigualdade . Substituindo , e pelas expressões esféricas:
Podemos dividir todos os termos por (desde que ):
Essa desigualdade relaciona os ângulos e e nos ajuda a definir os limites para esses parâmetros.

Passo 5

Vamos determinar os limites para . Observando a expressão , sabemos que essa combinação de funções trigonométricas tem um valor máximo de quando . Portanto, para que seja válida, deve variar entre e .

Passo 6

Agora, determinamos os limites para . A desigualdade pode ser reescrita como:
Como , isso nos dá uma relação entre e . Para simplificar, podemos considerar que varia de a .

Passo 7

Finalmente, combinando todas as informações, podemos escrever o conjunto em coordenadas esféricas. Os limites são:
Isso define o conjunto no sistema de coordenadas esféricas.

Resposta

O conjunto escrito em coordenadas esféricas é dado por:

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