Considere o conjunto
e
.
Escreva
em coordenadas esféricas.
Escreva
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um conjunto
definido pelas condições
e
. O objetivo aqui é reescrever esse conjunto em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar lembrar como são as coordenadas esféricas e como transformar as desigualdades dadas para esse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três parâmetros:
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e
(o ângulo entre o vetor posição e o eixo z). As relações entre coordenadas cartesianas
e esféricas
são:
Vamos usar essas relações para transformar as desigualdades do conjunto
para coordenadas esféricas.
Passo 3
Vamos começar com a primeira desigualdade
. Substituindo
e
pelas expressões em coordenadas esféricas:
Isso simplifica para:
Sabemos que
, então:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda desigualdade
. Substituindo
,
e
pelas expressões esféricas:
Podemos dividir todos os termos por
(desde que
):
Essa desigualdade relaciona os ângulos
e
e nos ajuda a definir os limites para esses parâmetros.
Passo 5
Vamos determinar os limites para
. Observando a expressão
, sabemos que essa combinação de funções trigonométricas tem um valor máximo de
quando
. Portanto, para que
seja válida,
deve variar entre
e
.
Passo 6
Agora, determinamos os limites para
. A desigualdade
pode ser reescrita como:
Como
, isso nos dá uma relação entre
e
. Para simplificar, podemos considerar que
varia de
a
.
Passo 7
Finalmente, combinando todas as informações, podemos escrever o conjunto
em coordenadas esféricas. Os limites são:
Isso define o conjunto
no sistema de coordenadas esféricas.
Resposta
O conjunto
escrito em coordenadas esféricas é dado por: