Calcule a massa e o centro de massa do sólido homogêneo compreendido entre o paraboloide e plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a massa e o centro de massa de um sólido homogêneo limitado pelo paraboloide e pelo plano . Isso envolve conceitos de cálculo integral, principalmente integrais de volume e centro de massa em coordenadas tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa do sólido. Como o sólido é homogêneo, a densidade () é constante. A massa pode ser obtida integrando a densidade sobre o volume do sólido:
Vamos precisar encontrar o volume limitado pelo paraboloide e pelo plano.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que o sólido tem simetria circular em torno do eixo . Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é .
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. O paraboloide é dado por e o plano por . Então, para , temos que . Para , quando , então . E varia de a .
Passo 5
Agora, vamos expressar o volume em coordenadas cilíndricas:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, o volume fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a :
Então, o volume é:
Passo 7
Agora, calculamos a massa . Se considerarmos a densidade , então:
Passo 8
Para encontrar o centro de massa , devido à simetria circular, sabemos que e . Precisamos calcular :
Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Passo 9
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 10
Integramos em relação a :
Então:
Resposta
A massa do sólido é e o centro de massa está localizado em .