Calcule a massa e o centro de massa do sólido homogêneo compreendido entre o paraboloide z = x^2 + y^2 e plano z = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a massa e o centro de massa de um sólido homogêneo limitado pelo paraboloide e pelo plano . Isso envolve conceitos de cálculo integral, principalmente integrais de volume e centro de massa em coordenadas tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa do sólido. Como o sólido é homogêneo, a densidade ( ) é constante. A massa pode ser obtida integrando a densidade sobre o volume do sólido:
Vamos precisar encontrar o volume limitado pelo paraboloide e pelo plano.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que o sólido tem simetria circular em torno do eixo . Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. O paraboloide é dado por e o plano por . Então, para , temos que . Para , quando , então . E varia de a .

Passo 5

Agora, vamos expressar o volume em coordenadas cilíndricas:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, o volume fica:

Passo 6

Vamos integrar em relação a :
Então, o volume é:

Passo 7

Agora, calculamos a massa . Se considerarmos a densidade , então:

Passo 8

Para encontrar o centro de massa , devido à simetria circular, sabemos que e . Precisamos calcular :
Em coordenadas cilíndricas, isso fica:

Passo 9

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 10

Integramos em relação a :
Então:

Resposta

A massa do sólido é e o centro de massa está localizado em .

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