Use integral tripla para calcular o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica dos sólidos.
S é o sólido compreendido entre
e
.
S é o sólido compreendido entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido
que está entre as superfícies
e
usando integrais triplas. Basicamente, vamos precisar entender como essas duas superfícies se encontram para definir os limites de integração e, assim, calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a região no plano
onde essas duas superfícies se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Vamos rearranjar essa equação para facilitar a resolução:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para
e
:
Passo 5
Essa é a equação de uma elipse no plano
com centro em
, eixo maior no eixo
e eixo menor no eixo
.
Passo 6
Para calcular o volume, usamos a integral tripla onde
varia entre as duas superfícies e
está dentro da elipse encontrada. A integral fica:
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, precisamos converter as coordenadas para simplificar a integração. Vamos fazer uma mudança de variável:
Com isso, a elipse fica:
Passo 9
Para facilitar ainda mais, usamos coordenadas elípticas:
onde
e
.
Passo 10
Calculamos o Jacobiano dessa transformação:
Passo 11
Substituímos tudo na integral:
Passo 12
Resolvendo a integral, após simplificações e cálculos, chegamos ao valor do volume.
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Considere
o sólido compreendido entre o paraboloide
e o plano
. Escreva o sólido
na forma
e
e calcule a integral tripla de
sobre B.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Calcule as integrais de linha:
de sobre a curva
,
, com
.
de
Considere o campo
definido em todos os pontos
.
Construa a função potencial para e conclua que se trata de um campo conservativo em
.
Construa a função potencial para