Use integral tripla para calcular o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica dos sólidos.
S é o sólido compreendido entre z = x^2 + 3y^2 e z = 2 x + 6 y - 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está entre as superfícies e usando integrais triplas. Basicamente, vamos precisar entender como essas duas superfícies se encontram para definir os limites de integração e, assim, calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a região no plano onde essas duas superfícies se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Vamos rearranjar essa equação para facilitar a resolução:

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para e :

Passo 5

Essa é a equação de uma elipse no plano com centro em , eixo maior no eixo e eixo menor no eixo .

Passo 6

Para calcular o volume, usamos a integral tripla onde varia entre as duas superfícies e está dentro da elipse encontrada. A integral fica:

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, precisamos converter as coordenadas para simplificar a integração. Vamos fazer uma mudança de variável:
Com isso, a elipse fica:

Passo 9

Para facilitar ainda mais, usamos coordenadas elípticas:
onde e .

Passo 10

Calculamos o Jacobiano dessa transformação:

Passo 11

Substituímos tudo na integral:

Passo 12

Resolvendo a integral, após simplificações e cálculos, chegamos ao valor do volume.

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados