Use integral tripla para calcular o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica dos sólidos.
S é o sólido compreendido entre z = x^2 + 3y^2 e z = 2 x + 6 y - 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está entre as superfícies e usando integrais triplas. Basicamente, vamos precisar entender como essas duas superfícies se encontram para definir os limites de integração e, assim, calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a região no plano onde essas duas superfícies se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Vamos rearranjar essa equação para facilitar a resolução:

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para e :

Passo 5

Essa é a equação de uma elipse no plano com centro em , eixo maior no eixo e eixo menor no eixo .

Passo 6

Para calcular o volume, usamos a integral tripla onde varia entre as duas superfícies e está dentro da elipse encontrada. A integral fica:

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, precisamos converter as coordenadas para simplificar a integração. Vamos fazer uma mudança de variável:
Com isso, a elipse fica:

Passo 9

Para facilitar ainda mais, usamos coordenadas elípticas:
onde e .

Passo 10

Calculamos o Jacobiano dessa transformação:

Passo 11

Substituímos tudo na integral:

Passo 12

Resolvendo a integral, após simplificações e cálculos, chegamos ao valor do volume.

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Considere B o sólido compreendido entre o paraboloide y = x^2 + z^2 e o plano y = 3. Escreva o sólido B na forma {(x, y, z) : (x, z) em K} e g(x, z) <= y <= h(x, z) e calcule a integral tripla de f(x, y, z) = cos(x^2 + z^2) sobre B.
Calcule as integrais integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y, z)=e^x^2+z^2 e B: y=x^2+z^2 e y=4.
Calcule as integrais de linha:
de f(x, y) = x^3 * y + y^2 sobre a curva gamma(t) = cos(t), sen(t), com t in [0, pi].
Considere o campo F(x, y) = [(1/x) + e^x] i + [(2/y) - sen(y)] j definido em todos os pontos d e R^2.
Construa a função potencial para F e conclua que se trata de um campo conservativo em R^2.