Calcule as seguintes integrais triplas: (h) integral triplaW z^2 d x d y d z onde W é inferior ao cone z=raiz3(x^2+y^2) e limitado pela esfera x^2+y^2+ (z-1)^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo de uma integral tripla. A questão pede para calcular integral triplaW z^2 , dx , dy , dz, onde W é a região abaixo do cone z = raiz3(x^2 + y^2) e limitada pela esfera x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam trabalhar com simetrias circulares como essa do cone e da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a região W se comporta. O cone z = raiz3(x^2 + y^2) pode ser reescrito em coordenadas cilíndricas como z = raiz3r, onde r = raizx^2 + y^2. A esfera x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1 também será convertida para coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Convertendo a equação da esfera para coordenadas cilíndricas:
r^2 + (z - 1)^2 = 1
Vamos resolver essa equação para z:
(z - 1)^2 = 1 - r^2 z - 1 = pm raiz1 - r^2 z = 1 pm raiz1 - r^2
Como estamos interessados na parte superior da esfera que está acima do cone, consideramos:
z = 1 + raiz1 - r^2

Passo 4

Agora, identificamos os limites de integração. Em coordenadas cilíndricas, temos que:
  • r varia de 0 até o ponto onde o cone e a esfera se interceptam.
  • theta varia de 0 a 2pi, já que a região é circularmente simétrica.
  • z varia do cone até a esfera, ou seja, de z = raiz3r até z = 1 + raiz1 - r^2.

Passo 5

Vamos encontrar o ponto de interseção entre o cone e a esfera. Igualamos as expressões para z:
raiz3r = 1 + raiz1 - r^2
Resolvendo essa equação para r, encontramos:
raiz3r - 1 = raiz1 - r^2 (raiz3r - 1)^2 = 1 - r^2 3r^2 - 2raiz3r + 1 = 1 - r^2 4r^2 - 2raiz3r = 0 r(4r - 2raiz3) = 0 r = 0 ou r = raiz32
Então, o limite superior para r é raiz32.

Passo 6

Agora, configuramos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaW z^2 , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^raiz32 integralraiz3r^1 + raiz1 - r^2 z^2 , r , dz , dr , dtheta
Aqui, r é o fator de escala que aparece na transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em z, depois em r e por último em theta.
Integrando em z:
integralraiz3r^1 + raiz1 - r^2 z^2 , dz = [ z^33 ]raiz3r^1 + raiz1 - r^2
Substituindo os limites:
(1 + raiz1 - r^2)^33 - (raiz3r)^33

Passo 8

Agora, substituímos esse resultado na integral em r:
integral0^raiz32 ( (1 + raiz1 - r^2)^33 - 3raiz3 r^33 ) r , dr = integral0^raiz32 ( (1 + raiz1 - r^2)^33 - raiz3 r^3 ) r , dr
Simplificando:
integral0^raiz32 ( (1 + raiz1 - r^2)^33 r - raiz3 r^4 ) dr
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou com técnicas de integração mais avançadas.

Passo 9

Finalmente, integramos em theta:
integral0^2pi [ resu
Isso nos dará o valor final da integral tripla desejada.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a integral tripla integral triplaW z^2 , dx , dy , dz resulta em 2pi times [ valor da integral em r ]. O valor exato depende da resolução da integral em r, que pode requerer métodos numéricos ou técnicas avançadas de integração.

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