Calcule as seguintes integrais triplas: (h)
onde
é inferior ao cone
e limitado pela esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo de uma integral tripla. A questão pede para calcular
, onde
é a região abaixo do cone
e limitada pela esfera
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam trabalhar com simetrias circulares como essa do cone e da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a região
se comporta. O cone
pode ser reescrito em coordenadas cilíndricas como
, onde
. A esfera
também será convertida para coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Convertendo a equação da esfera para coordenadas cilíndricas:
Vamos resolver essa equação para
:
Como estamos interessados na parte superior da esfera que está acima do cone, consideramos:
Passo 4
Agora, identificamos os limites de integração. Em coordenadas cilíndricas, temos que:
-
varia de 0 até o ponto onde o cone e a esfera se interceptam. -
varia de 0 a , já que a região é circularmente simétrica. -
varia do cone até a esfera, ou seja, de até .
Passo 5
Vamos encontrar o ponto de interseção entre o cone e a esfera. Igualamos as expressões para
:
Resolvendo essa equação para
, encontramos:
Então, o limite superior para
é
.
Passo 6
Agora, configuramos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
é o fator de escala que aparece na transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em
, depois em
e por último em
.
Integrando em
:
Substituindo os limites:
Passo 8
Agora, substituímos esse resultado na integral em
:
Simplificando:
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou com técnicas de integração mais avançadas.
Passo 9
Finalmente, integramos em
:
Isso nos dará o valor final da integral tripla desejada.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a integral tripla
resulta em
. O valor exato depende da resolução da integral em
, que pode requerer métodos numéricos ou técnicas avançadas de integração.