Usando integral dupla por coordenadas polares, calcule o volume do sólido que está abaixo do paraboloide f(x, y) = x^2 + y^2 + 4 e acima do círculo x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que está abaixo do paraboloide e acima do círculo . Para isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares. Precisamos saber como converter as equações para coordenadas polares e como configurar os limites de integração nessa nova base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo .
A equação do círculo fica mais simples em coordenadas polares: .
O paraboloide também se traduz em polares. Como , temos:

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. O volume pode ser encontrado integrando a função sobre a região definida pelo círculo .
Em coordenadas polares, a integral dupla fica assim:
Aqui, é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
Então:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados