Usando integral dupla por coordenadas polares, calcule o volume do sólido que está abaixo do paraboloide e acima do círculo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que está abaixo do paraboloide e acima do círculo. Para isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares. Precisamos saber como converter as equações para coordenadas polares e como configurar os limites de integração nessa nova base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo .
A equação do círculo fica mais simples em coordenadas polares: .
O paraboloide também se traduz em polares. Como , temos:
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. O volume pode ser encontrado integrando a função sobre a região definida pelo círculo .
Em coordenadas polares, a integral dupla fica assim:
Aqui, é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :