Calcule as integrais:
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular:
onde
.
Vamos usar cálculo multivariado, especificamente integrais triplas, para resolver isso. Precisaremos integrar a função dada sobre a região
passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Ela é um paralelepípedo limitado por:
-
variando de a -
variando de a -
variando de a
Então, a integral tripla fica assim:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. A parte que envolve
é
. A primitiva de
em relação a
é
.
Aqui,
, então:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 4
Agora, multiplicamos o resultado pela parte que sobra da integral, que é
:
Então, a integral fica simplificada para:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
. Vamos separar a integral em duas partes:
A primitiva de
em relação a
é
.
Para a primeira parte,
:
Para a segunda parte,
:
Aplicando os limites de
a
:
e
Subtraindo as duas expressões:
Simplificando:
Multiplicando tudo por
:
Passo 6
Agora, a integral reduzida em
ficou:
Vamos integrar isso em relação a
de
a
:
Separando as integrais:
Calculando cada uma:
Aplicando os limites de
a
:
Simplificando:
Sabemos que:
Substituindo:
Passo 7
Vamos combinar os termos semelhantes:
Para as partes com
:
Para as partes com
:
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Exercícios relacionados
Uma partícula percorre a cúbica retorcida
, onde
. Ache o trabalho total realizado, se o movimento foi causado pelo campo de forças
. O trabalho é dado em Joules.
Faça um esboço do gráfico de cada função.
.
Calcule as integrais:
onde
Use a fórmula
para determinar a derivada das funçőes nos exercícios 23-26.