Calcule as integrais: integral triplaR x^2 y cos (x y z) d V onde R=(x, y, z) in R^3 mid 0 <= x <= pi / 4,0 <= y <= 1,1 <= z <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular:
integral triplaR x^2 y cos (x y z) , dV
onde .
Vamos usar cálculo multivariado, especificamente integrais triplas, para resolver isso. Precisaremos integrar a função dada sobre a região passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração integral0^pi4 integral0^1 integral1^3 x^2 y cos(x y z) , dz , dy , dx . Ela é um paralelepípedo limitado por:
  • variando de a
  • variando de a
  • variando de a
Então, a integral tripla fica assim:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral cos(x y z) , dz = sin(x y z)x y + C . A parte que envolve [ sin(3 x y)x y - sin(x y)x y ] = sin(3 x y) - sin(x y)x y é . A primitiva de em relação a é .
Aqui, , então:
Aplicando os limites de integração de a :

Passo 4

Agora, multiplicamos o resultado pela parte que sobra da integral, que é x^2 y cdot sin(3 x y) - sin(x y)x y = x ( sin(3 x y) - sin(x y) ) :
integral0^pi4 integral0^1 x ( sin(3 x y) - sin(x y) ) , dy , dx
Então, a integral fica simplificada para:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a integral0^1 x sin(3 x y) , dy - integral0^1 x sin(x y) , dy . Vamos separar a integral em duas partes:
integral sin(3 x y) , dy = -cos(3 x y)3 x + C
A primitiva de integral sin(x y) , dy = -cos(x y)x + C em relação a - cos(3 x)3 x + cos(0)3 x = - cos(3 x)3 x + 13 x é - cos(x)x + cos(0)x = - cos(x)x + 1x .
Para a primeira parte, ( - cos(3 x)3 x + 13 x ) - ( - cos(x)x + 1x ) = 1 - cos(3 x)3 x + cos(x) - 1x :
1 - cos(3 x)3 x + cos(x) - 1x = 1 - cos(3 x)3 x + cos(x) - 1x
Para a segunda parte, 1 - cos(3 x)3 + cos(x) - 1 :
Aplicando os limites de a :
e
Subtraindo as duas expressões:
Simplificando:
Multiplicando tudo por :

Passo 6

Agora, a integral reduzida em 1 - cos(3 x)3 + cos(x) - 1 ficou:
integral0^pi4 ( 1 - cos(3 x)3 + cos(x) - 1 ) , dx
Vamos integrar isso em relação a 13 integral0^pi4 (1 - cos(3 x)) , dx + integral0^pi4 cos(x) , dx - integral0^pi4 1 , dx de 13 ( pi4 - 0 ) - 19 (sin(3 cdot pi4) - sin(0)) + (sin(pi4) - sin(0)) - ( pi4 - 0 ) a pi12 - 19 sin(3pi4) + sin(pi4) - pi4 :
pi12 - 19 cdot raiz22 + raiz22 - pi4
Separando as integrais:
Calculando cada uma:
Aplicando os limites de a :
Simplificando:
Sabemos que:
Substituindo:

Passo 7

Vamos combinar os termos semelhantes:
( pi12 - pi4 ) + ( raiz22 - raiz218 )
Para as partes com pi12 - 3pi12 = -2pi12 = -pi6 :
raiz22 - raiz218 = raiz2 ( 918 - 118 ) = raiz2 cdot 818 = 4raiz29
Para as partes com :

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
4 raiz29 - pi6

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