Use a fórmula
f^prime(x)=lim z x f(z)-f(x)z-x
para determinar a derivada das funçőes nos exercícios 23-26. f(x)=1(x-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente o estudo das derivadas. Para isso, vamos usar a fórmula do limite que nos dá a derivada de uma função em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a definição da derivada para a função dada:
f^prime(x) = limz x f(z) - f(x)z - x
Aqui, e . Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 3

Substituindo na fórmula:
f^prime(x) = limz x 1(z-1)^2 - 1(x-1)^2z - x
Para simplificar essa expressão, vamos encontrar um denominador comum para os termos no numerador.

Passo 4

Calculando o numerador:
1(z-1)^2 - 1(x-1)^2 = (x-1)^2 - (z-1)^2(z-1)^2 (x-1)^2
Perceba que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada como .

Passo 5

Substituindo de volta:
f^prime(x) = limz x (x - z)(2 - x - z)(z-1)^2 (x-1)^2 (z - x)
Note que f^prime(x) = limz x -(2 - x - z)(z-1)^2 (x-1)^2 , então podemos simplificar:

Passo 6

Agora, ao aplicar o limite f^prime(x) = -(2 - x - x)(x-1)^2 (x-1)^2 = -(2 - 2x)(x-1)^4 = 2x - 2(x-1)^4 , substituímos f^prime(x) = 2(x - 1)(x-1)^4 = 2(x-1)^3 por onde for possível:
Simplificando ainda mais:
Como o sinal negativo foi considerado na simplificação, o resultado final é:

Resposta

f^prime(x) = -2(x-1)^3

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