Uma partícula percorre a cúbica retorcida r(t) = t i + t^2 j + t^3 k, onde 0 <= t <= 1. Ache o trabalho total realizado, se o movimento foi causado pelo campo de forças F(x, y, z) = e^x * i + x * e^z * j + x * sen(pi * y^2) * k. O trabalho é dado em Joules.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que está se movendo por uma curva chamada cúbica retorcida, que é descrita pela função vetorial:
O exercício pede para calcular o trabalho total realizado por um campo de forças dado por:
Vamos precisar usar o conceito de trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma trajetória, que é calculado pela integral de linha do produto escalar entre o campo de forças e o diferencial de deslocamento.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função posição em relação ao tempo , que nos dá o vetor velocidade :

Passo 3

Agora, vamos expressar o campo de forças ao longo da trajetória . Isso significa substituir , e na expressão de pelas componentes de :
Então,

Passo 4

O trabalho é dado pela integral de linha do produto escalar entre e :
Vamos calcular o produto escalar:

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão de até :
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente:
  1. Para , fazemos a substituição , então . Ajustando os coeficientes:
  1. Para , fazemos a substituição , então . Ajustando os coeficientes:

Resposta

Somando todas as partes, o trabalho total realizado é:

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