Uma partícula percorre a cúbica retorcida , onde . Ache o trabalho total realizado, se o movimento foi causado pelo campo de forças . O trabalho é dado em Joules.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que está se movendo por uma curva chamada cúbica retorcida, que é descrita pela função vetorial:
O exercício pede para calcular o trabalho total realizado por um campo de forças dado por:
Vamos precisar usar o conceito de trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma trajetória, que é calculado pela integral de linha do produto escalar entre o campo de forças e o diferencial de deslocamento.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função posição em relação ao tempo , que nos dá o vetor velocidade :
Passo 3
Agora, vamos expressar o campo de forças ao longo da trajetória . Isso significa substituir , e na expressão de pelas componentes de :
Então,
Passo 4
O trabalho é dado pela integral de linha do produto escalar entre e :
Vamos calcular o produto escalar:
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa expressão de até :
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente:
Para , fazemos a substituição , então . Ajustando os coeficientes:
Para , fazemos a substituição , então . Ajustando os coeficientes:
Resposta
Somando todas as partes, o trabalho total realizado é: