Uma partícula percorre a cúbica retorcida
, onde
. Ache o trabalho total realizado, se o movimento foi causado pelo campo de forças
. O trabalho é dado em Joules.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que está se movendo por uma curva chamada cúbica retorcida, que é descrita pela função vetorial:
O exercício pede para calcular o trabalho total realizado por um campo de forças dado por:
Vamos precisar usar o conceito de trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma trajetória, que é calculado pela integral de linha do produto escalar entre o campo de forças e o diferencial de deslocamento.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função posição
em relação ao tempo
, que nos dá o vetor velocidade
:
Passo 3
Agora, vamos expressar o campo de forças
ao longo da trajetória
. Isso significa substituir
,
e
na expressão de
pelas componentes de
:
Então,
Passo 4
O trabalho
é dado pela integral de linha do produto escalar entre
e
:
Vamos calcular o produto escalar:
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa expressão de
até
:
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente:
-
-
Para
, fazemos a substituição , então . Ajustando os coeficientes:
- Para
, fazemos a substituição , então . Ajustando os coeficientes:
Resposta
Somando todas as partes, o trabalho total realizado é: