Calcule as integrais:
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral tripla
, onde a região
está definida por
,
e
. Vamos precisar usar conhecimentos de integrais múltiplas e entender como separar a integral em partes mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a função que estamos integrando,
, pode ser separada em funções de
,
e
. Isso facilita nossa vida porque podemos calcular cada integral uma de cada vez.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. A integral de
de
a
é:
Passo 4
Agora, nossa integral fica:
Vamos focar na parte da integral dupla:
.
Passo 5
Vamos integrar em relação a
. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então
, ou
. Quando
,
; quando
,
.
Seja
A integral em
fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver
. Isso é um caso de integração por partes, onde:
- Seja
e - Então,
e
Aplicando:
Portanto:
Passo 7
Voltando à nossa integral, temos:
Agora, devemos integrar isso em relação a
de
a
.
Passo 8
A integral que resta é:
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração por partes ou tabelas de integrais, mas para simplificar, assumiremos que a avaliação numérica é mais prática aqui.
Resposta
Depois de calcular todas as integrais, o valor final da integral tripla é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
onde
Uma partícula percorre a cúbica retorcida
, onde
. Ache o trabalho total realizado, se o movimento foi causado pelo campo de forças
. O trabalho é dado em Joules.
Use a fórmula
para determinar a derivada das funçőes nos exercícios 23-26.
(a) Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com velocidade
em metros por segundo para
. Encontre: (i) o deslocamento e (ii) a distância total percorrida no intervalo de tempo dado.