(a) Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com velocidade
em metros por segundo para
. Encontre: (i) o deslocamento e (ii) a distância total percorrida no intervalo de tempo dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula que se move numa linha reta com uma certa velocidade dada por
metros por segundo, no intervalo de tempo de
. Precisamos descobrir duas coisas:
- Deslocamento: a mudança de posição da partícula nesse intervalo.
- Distância total percorrida: a soma de todos os caminhos percorridos, sem considerar a direção.
Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a acumular mudanças ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é deslocamento. O deslocamento é simplesmente a diferença entre a posição final e a posição inicial da partícula. Matematicamente, isso é expresso como:
Para encontrar
, precisamos integrar a velocidade
em relação ao tempo
:
Onde
é a constante de integração que podemos determinar se tivermos uma condição inicial. Mas como não temos essa informação, vamos focar no deslocamento que depende apenas das variações da velocidade.
Passo 3
Vamos calcular o deslocamento integrando a velocidade de
até
:
Resolvendo a integral:
Avaliar de 0 a 4:
Passo 4
Agora, vamos para a distância total percorrida. A diferença aqui é que precisamos considerar o valor absoluto da velocidade, já que a distância não “anula” os caminhos em direções opostas.
Primeiro, encontramos quando a velocidade é zero para saber se a direção muda:
Então, dividimos a integral em dois intervalos: de 0 a 3 e de 3 a 4.
Para
:
Para
:
Aqui, a velocidade é negativa, então tomamos o valor positivo:
Somando os dois intervalos:
Resposta
(i) O deslocamento da partícula no intervalo de
é 8 metros.
(ii) A distância total percorrida pela partícula nesse mesmo intervalo é 10 metros.
Exercícios relacionados
Use a fórmula
para determinar a derivada das funçőes nos exercícios 23-26.
Calcule as integrais:
onde
(a) Calcule
para
Considere a série
.
Mostre que é constante (Sugestão: com a ajuda de (b) mostre que a derivada é 0).
Mostre que