(a) Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com velocidade v(t) = -2x + 6 em metros por segundo para 0 <= t <= 4. Encontre: (i) o deslocamento e (ii) a distância total percorrida no intervalo de tempo dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula que se move numa linha reta com uma certa velocidade dada por metros por segundo, no intervalo de tempo de . Precisamos descobrir duas coisas:
  1. Deslocamento: a mudança de posição da partícula nesse intervalo.
  2. Distância total percorrida: a soma de todos os caminhos percorridos, sem considerar a direção.
Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a acumular mudanças ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é deslocamento. O deslocamento é simplesmente a diferença entre a posição final e a posição inicial da partícula. Matematicamente, isso é expresso como:
Para encontrar , precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo :
Onde é a constante de integração que podemos determinar se tivermos uma condição inicial. Mas como não temos essa informação, vamos focar no deslocamento que depende apenas das variações da velocidade.

Passo 3

Vamos calcular o deslocamento integrando a velocidade de até :
Resolvendo a integral:
Avaliar de 0 a 4:

Passo 4

Agora, vamos para a distância total percorrida. A diferença aqui é que precisamos considerar o valor absoluto da velocidade, já que a distância não “anula” os caminhos em direções opostas.
Primeiro, encontramos quando a velocidade é zero para saber se a direção muda:
Então, dividimos a integral em dois intervalos: de 0 a 3 e de 3 a 4.
Para :
Para :
Aqui, a velocidade é negativa, então tomamos o valor positivo:
Somando os dois intervalos:
â

Resposta

(i) O deslocamento da partícula no intervalo de é 8 metros.
(ii) A distância total percorrida pela partícula nesse mesmo intervalo é 10 metros.

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