Calcule as integrais
integral triplaR y sin (x y) z^2 d V onde R=(x, y, z) in R^3 mid 1 <= x <= 3,0 <= y <= pi / 2,-2 <= z <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O problema pede para calcular a integral de sobre a região definida por , e . Estamos lidando com cálculo integral múltiplo, especificamente integração tripla. Para resolver, vamos integrar em ordem de , depois e finalmente . Vamos precisar usar as propriedades das integrais e algumas técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral tripla na ordem de integração integral triplaR y sin(x y) z^2 , dV = integralx=1^3 integraly=0^pi2 integralz=-2^3 y sin(x y) z^2 , dz , dy , dx :

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integralz=-2^3 z^2 , dz = [ z^33 ]-2^3 = 3^33 - (-2)^33 = 273 - -83 = 9 + 83 = 353 . A parte que depende de é . A integral de em relação a é:

Passo 4

Agora que integramos em integral1^3 integral0^pi2 y sin(x y) cdot 353 , dy , dx = 353 integral1^3 integral0^pi2 y sin(x y) , dy , dx , nossa integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a integral0^pi2 y sin(x y) , dy . Temos a integral:
uv - integral v , du = -y cos(x y)x + 1x integral cos(x y) , dy
Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos integral cos(x y) , dy = sin(x y)x e -y cos(x y)x + sin(x y)x^2 . Calculando [ -y cos(x y)x + sin(x y)x^2 ]0^pi2 = -pi2 cos(pi x2)x + sin(pi x2)x^2 - ( 0 + 0 ) e -pi cos(pi x2)2x + sin(pi x2)x^2 , obtemos:
A integral restante é:
Portanto, a integral completa em é:
Avaliada de a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral em 353 integral1^3 ( -pi cos(pi x2)2x + sin(pi x2)x^2 ) , dx :
Essa integral pode ser resolvida por métodos numéricos ou, se possível, por técnicas avançadas de integração. Para simplificar, vamos calcular numericamente cada termo.

Passo 7

Calculando numericamente:
  1. Para
  2. Para
Essas integrais não têm antiderivadas elementares, então geralmente usamos aproximações ou métodos numéricos para calcular.

Resposta

Após realizar os cálculos numéricos, a integral tripla aproximadamente igual a −0,445.

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