Calcule as integrais
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O problema pede para calcular a integral de
sobre a região
definida por
,
e
. Estamos lidando com cálculo integral múltiplo, especificamente integração tripla. Para resolver, vamos integrar em ordem de
, depois
e finalmente
. Vamos precisar usar as propriedades das integrais e algumas técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral tripla na ordem de integração
:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. A parte que depende de
é
. A integral de
em relação a
é:
Passo 4
Agora que integramos em
, nossa integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
. Temos a integral:
Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos
e
. Calculando
e
, obtemos:
A integral restante é:
Portanto, a integral completa em
é:
Avaliada de
a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral em
:
Essa integral pode ser resolvida por métodos numéricos ou, se possível, por técnicas avançadas de integração. Para simplificar, vamos calcular numericamente cada termo.
Passo 7
Calculando numericamente:
- Para
- Para
Essas integrais não têm antiderivadas elementares, então geralmente usamos aproximações ou métodos numéricos para calcular.
Resposta
Após realizar os cálculos numéricos, a integral tripla
aproximadamente igual a −0,445.