Encontre o raio de convergência da série sumn=1^infty (2 n)!(n!)^2 x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o raio de convergência da série infinita . Isso faz parte da matéria de Séries de Potências. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série convergirá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Ele nos diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , o raio de convergência pode ser encontrado calculando o limite:
E então .

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. Aqui, an+1 = (2(n+1))!((n+1)!)^2 = (2n+2)!(n+1)!^2 . Precisamos encontrar , que é:

Passo 4

Vamos calcular a razão an+1an = (2n+2)!(n+1)!^2(2n)!n!^2 = (2n+2)(2n+1)(2n)!(n+1)^2 n!^2 times n!^2(2n)! = (2n+2)(2n+1)(n+1)^2 :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
(2n+2)(2n+1)(n+1)^2 = 4n^2 + 6n + 2n^2 + 2n + 1 = 4 + 6n + 2n^21 + 2n + 1n^2
Quando limn to infty an+1an = 41 = 4 tende ao infinito, os termos , , e vão a zero, então:

Passo 6

Agora que encontramos R = 1L = 14 , aplicamos a fórmula do raio de convergência:

Resposta

O raio de convergência da série é .

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