Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o raio de convergência da série infinita . Isso faz parte da matéria de Séries de Potências. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série convergirá.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Ele nos diz que, para uma série , o raio de convergência pode ser encontrado calculando o limite:
E então .
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. Aqui, an+1 = (2(n+1))!((n+1)!)^2 = (2n+2)!(n+1)!^2 . Precisamos encontrar , que é:
Passo 4
Vamos calcular a razão an+1an = (2n+2)!(n+1)!^2(2n)!n!^2 = (2n+2)(2n+1)(2n)!(n+1)^2 n!^2 times n!^2(2n)! = (2n+2)(2n+1)(n+1)^2 :