Calcule as integrais:
integral(3 t+t^2) sen(2 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão está no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta bem útil quando temos o produto de funções, como aqui onde temos um polinômio multiplicando uma função trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes. Ela diz que:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser u = 3t + t^2 e dv = sen(2t) , dt e du = (3 + 2t) , dt . Geralmente, escolhemos v = integral sen(2t) , dt = -12 cos(2t) como a parte que vai se simplificar ao derivar, e como o restante.
Vamos escolher:
Agora, vamos derivar e integrar :

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
integral (3t + t^2) sen(2t) , dt = u , v - integral v , du
Simplificando:
= (3t + t^2) (-12 cos(2t)) - integral (-12 cos(2t)) (3 + 2t) , dt

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral u = 3 + 2t e dv = cos(2t) , dt . Vamos usar novamente integração por partes.
Escolhemos:
du = 2 , dt
Derivando e integrando:
v = integral cos(2t) , dt = 12 sen(2t)

Passo 5

Aplicando a integração por partes na nova integral:
integral (3 + 2t) cos(2t) , dt = u , v - integral v , du
Substituindo:
Simplificando:
A integral de é:

Passo 6

Substituindo de volta:
Agora, voltamos para a expressão anterior:
Simplificando:

Resposta

Portanto, a integral é:
Onde -12 (3t + t^2) cos(2t) + 14 (3 + 2t) sen(2t) + 14 cos(2t) + C é a constante de integração.

Exercícios relacionados