Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão está no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta bem útil quando temos o produto de funções, como aqui onde temos um polinômio multiplicando uma função trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes. Ela diz que:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser
e
. Geralmente, escolhemos
como a parte que vai se simplificar ao derivar, e
como o restante.
Vamos escolher:
Agora, vamos derivar
e integrar
:
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos usar novamente integração por partes.
Escolhemos:
Derivando e integrando:
Passo 5
Aplicando a integração por partes na nova integral:
Substituindo:
Simplificando:
A integral de é:
Passo 6
Substituindo de volta:
Agora, voltamos para a expressão anterior:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a integral é:
Onde
é a constante de integração.