Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
.
Matéria envolvida: Integração por frações parciais, que é uma técnica usada para integrar funções racionais (razões de polinômios).
O que vamos precisar: Fatorar o denominador da fração e expressar a fração original como uma soma de frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
.
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
.
Então, o denominador totalmente fatorado fica:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes
,
e
tais que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Vamos encontrar os valores de
,
e
substituindo valores de
que simplificam a equação.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Lembrete: A integral de
é
.
Passo 8
Calculando as integrais:
Resposta
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Use a definição da transformada de Laplace para determinar
em cada item.
Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções: