Calcule as integrais: integral x-1x^3-x^2-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Matéria envolvida: Integração por frações parciais, que é uma técnica usada para integrar funções racionais (razões de polinômios).
O que vamos precisar: Fatorar o denominador da fração e expressar a fração original como uma soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2) .
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático x^3 - x^2 - 2x = x(x - 2)(x + 1) .
Então, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes x - 1x(x - 2)(x + 1) = Ax + Bx - 2 + Cx + 1 , e tais que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x - 1 = A(x - 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Vamos encontrar os valores de 0 - 1 = A(-2)(1) + 0 + 0 -1 = -2A A = 12 , 2 - 1 = 0 + B(2)(3) + 0 1 = 6B B = 16 e -1 - 1 = 0 + 0 + C(-1)(-3) -2 = 3C C = -23 substituindo valores de que simplificam a equação.
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora que temos os valores de x - 1x(x - 2)(x + 1) = 1/2x + 1/6x - 2 - 2/3x + 1 , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1/2x , dx + integral 1/6x - 2 , dx - integral 2/3x + 1 , dx
Lembrete: A integral de é .

Passo 8

Calculando as integrais:
12 ln|x| + 16 ln|x - 2| - 23 ln|x + 1| + C

Resposta

12 ln|x| + 16 ln|x - 2| - 23 ln|x + 1| + C

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