Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Matéria envolvida: Integração por frações parciais, que é uma técnica usada para integrar funções racionais (razões de polinômios).
O que vamos precisar: Fatorar o denominador da fração e expressar a fração original como uma soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador .
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático .
Então, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Vamos encontrar os valores de , e substituindo valores de que simplificam a equação.
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
Lembrete: A integral de é .

Passo 8

Calculando as integrais:

Resposta

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Calcule as integrais:
Use a definição da transformada de Laplace para determinar em cada item.
Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções: