Use a definição da transformada de Laplace para determinar em cada item.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é igual a quando e zero quando . O objetivo é usar a definição da transformada de Laplace para encontrar . Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com funções definidas por partes e aplicar a definição da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar de uma forma que facilite o uso da transformada de Laplace. Podemos escrever como a diferença entre duas funções senoidais com escalonamento unitário:
Aqui, é a função degrau de Heaviside, que é 1 para e zero caso contrário.

Passo 3

Agora, aplicamos a transformada de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
e, usando a propriedade de deslocamento (grau ):

Passo 4

Subtraindo as transformadas obtidas, temos:
Isso pode ser simplificado para:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs: