Calcule as integrais: integral x^5 raizx^2+4 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Essa integral envolve funções polinomiais e uma raiz quadrada, então vamos usar o método de substituição para simplificar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observamos que dentro da raiz temos u = x^2 + 4 . Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx :
du2 = x , dx
Isso significa que:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de x^4 = (x^2)^2 = (u - 4)^2 . Note que temos integral x^5 raizx^2+4 , dx = integral (u - 4)^2 cdot x cdot raizu , dx na integral, que pode ser escrito como . Sabemos que , então:
Substituindo na integral:

Passo 5

Substituindo integral (u - 4)^2 cdot raizu cdot du2 = 12 integral (u - 4)^2 cdot u^12 , du por :

Passo 6

Vamos expandir (u - 4)^2 = u^2 - 8u + 16 :
12 integral (u^2 - 8u + 16) cdot u^12 , du
Substituindo na integral:
12 integral ( u^2 + 12 - 8u^1 + 12 + 16u^12 ) , du
Distribuindo 12 integral ( u^52 - 8u^32 + 16u^12 ) , du :

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
12 ( u^7272 - 8 cdot u^5252 + 16 cdot u^3232 ) + C
Simplificando os denominadores:
12 ( 27 u^72 - 165 u^52 + 323 u^32 ) + C

Passo 8

Finalmente, substituímos 12 ( 27 (x^2 + 4)^72 - 165 (x^2 + 4)^52 + 323 (x^2 + 4)^32 ) + C de volta na expressão:
17 (x^2 + 4)^72 - 85 (x^2 + 4)^52 + 163 (x^2 + 4)^32 + C
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral 17 (x^2 + 4)^72 - 85 (x^2 + 4)^52 + 163 (x^2 + 4)^32 + C é igual a:

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