Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a transformada de Laplace da função . Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são ferramentas matemáticas usadas para resolver equações diferenciais, entre outras aplicações. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas da transformada de Laplace para funções cosseno e seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é uma operação linear. Isso significa que a transformada de uma soma de funções é igual à soma das transformadas dessas funções individualmente. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa propriedade à nossa função :

Passo 4

Em seguida, usamos as fórmulas padrão para a transformada de Laplace das funções cosseno e seno:
Aqui, e no nosso caso.

Passo 5

Aplicando essas fórmulas com os valores de e :

Passo 6

Finalmente, somamos as duas transformadas obtidas:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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Use a definição da transformada de Laplace para determinar em cada item.
Calcule as integrais:
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.