Calcule as integrais.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de
. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente a técnica de substituição para integrais. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o que está dentro da integral:
e
. Notamos que
é a derivada de
multiplicada por 2. Isso sugere que podemos usar a substituição u =
.
Passo 3
Fazendo a substituição
, precisamos também substituir
em termos de
. Calculamos a derivada de u em relação a x:
No entanto, na integral temos
. Vamos ajustar isso para corresponder:
Parece que precisamos adaptar um pouco a substituição para encaixar tudo direitinho.
Passo 4
Vamos reescrever
como
. Mas percebemos que a derivada de u é
, que não combina diretamente com
. Nesse caso, talvez seja melhor tentar expandir
e multiplicar por
, mas isso pode ser bem trabalhoso.
Passo 5
Vamos tentar outra abordagem: usar a substituição
mesmo. Então, temos:
Mas queremos expressar
em termos de du:
Agora, podemos reescrever a integral em termos de u.
Passo 6
Substituindo tudo na integral, temos:
Aqui, porém, ainda precisamos expressar dx em termos de du, o que complica um pouco. Vamos tentar uma abordagem diferente para simplificar.
Passo 7
Vamos reconsiderar que a substituição direta pode não ser a mais simples aqui. Em vez disso, notamos que
pode ser reescrito como
, mas isso não facilita diretamente a integração. Então, vamos voltar à substituição original e ajustar a expressão.
Passo 8
Com
e
, reescrevemos a integral:
Aqui, percebemos que
, o que ainda não simplifica muito. Parece que expandir pode ser o caminho mais direto.
Passo 9
Vamos expandir
:
Multiplicando por
:
Agora, a integral fica mais simples de resolver termo a termo.
Passo 10
Agora calculemos a integral termo a termo:
Resposta
A solução da integral é:
onde
é a constante de integração.
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