Calcule as integrais. integral(x^2+x)^3(2 x+4) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de . Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente a técnica de substituição para integrais. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que está dentro da integral: e . Notamos que é a derivada de multiplicada por 2. Isso sugere que podemos usar a substituição u = .

Passo 3

Fazendo a substituição dudx = 2x + 1 , precisamos também substituir 2x + 4 = 2(x + 2) em termos de . Calculamos a derivada de u em relação a x:
No entanto, na integral temos . Vamos ajustar isso para corresponder:
Parece que precisamos adaptar um pouco a substituição para encaixar tudo direitinho.

Passo 4

Vamos reescrever como . Mas percebemos que a derivada de u é , que não combina diretamente com . Nesse caso, talvez seja melhor tentar expandir e multiplicar por , mas isso pode ser bem trabalhoso.

Passo 5

Vamos tentar outra abordagem: usar a substituição du = (2x + 1)dx mesmo. Então, temos:
2x + 4 = 2x + 1 + 3 Rightarrow 2x + 4 = dudx + 3
Mas queremos expressar em termos de du:
Agora, podemos reescrever a integral em termos de u.

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
integral u^3 (2x + 4) dx = integral u^3 (du + 3dx)
Aqui, porém, ainda precisamos expressar dx em termos de du, o que complica um pouco. Vamos tentar uma abordagem diferente para simplificar.

Passo 7

Vamos reconsiderar que a substituição direta pode não ser a mais simples aqui. Em vez disso, notamos que pode ser reescrito como , mas isso não facilita diretamente a integração. Então, vamos voltar à substituição original e ajustar a expressão.

Passo 8

Com integral u^3 (2x + 4) dx = integral u^3 ( du2x + 1 times (2x + 4) ) e , reescrevemos a integral:
Aqui, percebemos que , o que ainda não simplifica muito. Parece que expandir pode ser o caminho mais direto.

Passo 9

Vamos expandir (x^2 + x)^3 = x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3 :
(x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3)(2x + 4) = 2x^7 + 10x^6 + 14x^5 + 8x^4
Multiplicando por :
Agora, a integral fica mais simples de resolver termo a termo.

Passo 10

Agora calculemos a integral termo a termo:
integral 2x^7 , dx = 28x^8 = 14x^8
integral 10x^6 , dx = 107x^7
integral 14x^5 , dx = 146x^6 = 73x^6
integral 8x^4 , dx = 85x^5

Resposta

A solução da integral é:
14x^8 + 107x^7 + 73x^6 + 85x^5 + C
onde é a constante de integração.

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