Calcule os limites: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, mais especificamente envolvendo funções exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar propriedades de limites e reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Quando estamos lidando com limites que envolvem potências onde tanto a base quanto o expoente variam, uma boa estratégia é usar logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para facilitar a manipulação. Seja , então:

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos reescrever:

Passo 5

Agora, precisamos calcular . Sabemos que quando está próximo de 0, então podemos aproximar:

Passo 6

Vamos considerar o limite . Sabemos que tende a quando tende a 0 pela direita, mas tende a 0. Então, temos uma forma do tipo , que é indeterminada. Para resolver, reescrevemos a expressão como uma fração:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, que é útil para limites que resultam em formas indeterminadas como . Derivamos o numerador e o denominador:
Então, o limite se torna:

Passo 8

Voltando ao nosso limite original dos logaritmos:

Passo 9

Agora, para encontrar , usamos a função exponencial para desfazer o logaritmo:

Resposta

Portanto, .

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Calcule as integrais. .