Calcule os limites:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, mais especificamente envolvendo funções exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar propriedades de limites e reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. Quando estamos lidando com limites que envolvem potências onde tanto a base quanto o expoente variam, uma boa estratégia é usar logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para facilitar a manipulação. Seja
, então:
Passo 4
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos reescrever:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que
quando
está próximo de 0, então podemos aproximar:
Passo 6
Vamos considerar o limite
. Sabemos que
tende a
quando
tende a 0 pela direita, mas
tende a 0. Então, temos uma forma do tipo
, que é indeterminada. Para resolver, reescrevemos a expressão como uma fração:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, que é útil para limites que resultam em formas indeterminadas como
. Derivamos o numerador e o denominador:
Então, o limite se torna:
Passo 8
Voltando ao nosso limite original dos logaritmos:
Passo 9
Agora, para encontrar
, usamos a função exponencial para desfazer o logaritmo:
Resposta
Portanto,
.
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Calcule as integrais.
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