Calcule os limites: lim x 0^+ x^sen x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, mais especificamente envolvendo funções exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar propriedades de limites e reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Quando estamos lidando com limites que envolvem potências onde tanto a base quanto o expoente variam, uma boa estratégia é usar logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para facilitar a manipulação. Seja ln L = lim x 0^+ ln(x^sin x) , então:

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz ln L = lim x 0^+ sin x cdot ln x , podemos reescrever:

Passo 5

Agora, precisamos calcular sin x cdot ln x approx x cdot ln x . Sabemos que quando está próximo de 0, então podemos aproximar:

Passo 6

Vamos considerar o limite x cdot ln x = ln x1/x . Sabemos que tende a quando tende a 0 pela direita, mas tende a 0. Então, temos uma forma do tipo , que é indeterminada. Para resolver, reescrevemos a expressão como uma fração:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, que é útil para limites que resultam em formas indeterminadas como ddx (ln x) = 1x . Derivamos o numerador e o denominador:
ddx (1x) = -1x^2
lim x 0^+ 1/x-1/x^2 = lim x 0^+ -x = 0
Então, o limite se torna:

Passo 8

Voltando ao nosso limite original dos logaritmos:
ln L = lim x 0^+ sin x cdot ln x = 0

Passo 9

Agora, para encontrar L = e^ln L = e^0 = 1 , usamos a função exponencial para desfazer o logaritmo:

Resposta

Portanto, .

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