Calcule os limites: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas, seno e cotangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando o argumento delas se aproxima de zero.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão fazendo uma substituição. Seja . Conforme tende ao infinito, tende a 0. Assim, a expressão original se transforma em .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a cotangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno: . Então, substituindo na expressão, temos:

Passo 4

Para muito pequeno (próximo de 0), sabemos que:
Além disso, o logaritmo de um número pequeno pode ser aproximado por:
Então, substituindo essas aproximações na expressão:

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de quando tende a 0. Sabemos que tende a 0 e tende a , mas o produto tende a 0 porque diminui mais rápido do que cresce negativamente.

Resposta

Portanto, o limite é igual a .

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