Calcule os limites:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito da expressão
. Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas, seno e cotangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando o argumento delas se aproxima de zero.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão fazendo uma substituição. Seja
. Conforme
tende ao infinito,
tende a 0. Assim, a expressão original se transforma em
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a cotangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
. Então, substituindo na expressão, temos:
Passo 4
Para
muito pequeno (próximo de 0), sabemos que:
Além disso, o logaritmo de um número pequeno pode ser aproximado por:
Então, substituindo essas aproximações na expressão:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de
quando
tende a 0. Sabemos que
tende a 0 e
tende a
, mas o produto
tende a 0 porque
diminui mais rápido do que
cresce negativamente.
Resposta
Portanto, o limite é igual a
.
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