Calcule as integrais: integral 4 x^3+3 x^2(x^4+x^3+7)^3 d x

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de uma função que envolve polinômios no numerador e no denominador. O conteúdo aqui é cálculo integral, mais especificamente, integração por substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifica a integral para algo que a gente já sabe resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador: . Vamos chamar isso de . Então, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 4x^3 + 3x^2 em relação a , que é . Calculando, temos:
Legal, isso aparece no numerador da nossa integral original!

Passo 4

Perfeito! Isso significa que podemos reescrever a integral em termos de integral 4x^3 + 3x^2(x^4 + x^3 + 7)^3 , dx = integral duu^3 . A integral original fica:
Aqui, simplificamos substituindo tudo em função de .

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (onde n neq -1) . Lembrando que:
integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C
No nosso caso, , então:

Passo 6

Finalmente, vamos voltar à variável original, substituindo -12(x^4 + x^3 + 7)^2 + C por :

Resposta

-12(x^4 + x^3 + 7)^2 + C

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