Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui: precisamos calcular a integral definida de 0 a 4 de √(4 - (x - 2)²) em relação a x, ou seja,
Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente integrais que representam áreas sob curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender a forma da função que estamos integrando e como calcular integrais que envolvem raízes quadradas.
Passo 2
Vamos dar uma olhada na expressão dentro da raiz: 4 - (x - 2)². Essa expressão se parece muito com a equação de um círculo. A equação geral de um círculo com centro em (h, k) e raio r é:
No nosso caso, podemos reescrever a expressão dentro da raiz assim:
Isso representa a parte superior de um círculo com centro em (2, 0) e raio 2.
Passo 3
Sabendo que a função
representa a metade superior de um círculo de raio 2, a integral que precisamos calcular é a área dessa semicircunferência de x = 0 a x = 4, que corresponde a todo o diâmetro do círculo.
A fórmula da área de um círculo completo é:
Como estamos lidando apenas com a metade superior do círculo, a área será metade disso:
Passo 4
Agora, substituímos o valor do raio
na fórmula da área do semicírculo:
Resposta
A integral
é igual a
.
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Derive:
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