Calcule as integrais: integral(2 x-5)^7 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais, especificamente utilizando a técnica de substituição (também conhecida como troca de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma função dentro da integral que possamos simplificar usando essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da expressão dentro da integral para substituir por uma nova variável. Observando , percebemos que é uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos definir . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral.

Passo 4

Calculando a derivada de dudx = 2 Rightarrow du = 2 dx Rightarrow dx = du2 :

Passo 5

Substituindo integral (2x - 5)^7 dx = integral u^7 cdot du2 = 12 integral u^7 du e na integral original:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a . A regra da potência para integrais diz que , onde é a constante de integração.

Passo 7

Aplicando a regra da potência:
12 integral u^7 du = 12 cdot u^88 + C = u^816 + C

Passo 8

Finalmente, substituímos (2x - 5)^816 + C de volta pela expressão original :

Resposta

A integral é igual a .

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