Use a definição de limite para provar que:
Passo 1
Aqui, queremos provar usando a definição de limite que
. Para isso, vamos precisar entender a definição formal de limite, que nos ajuda a mostrar que, à medida que
se aproxima de 0, a expressão
se aproxima de 1.
Passo 2
A definição de limite diz que para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
. Nosso objetivo é encontrar um
que funcione para qualquer
dado.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
:
Agora, queremos que
.
Passo 4
Podemos fatorar a expressão:
Para facilitar, vamos limitar
a ser menor que 1, ou seja,
. Assim,
fica:
Passo 5
Agora, temos:
Queremos que
. Para isso, basta escolher
.
Passo 6
Portanto, podemos definir
como:
Assim, sempre que
, teremos:
Isso satisfaz a definição de limite.
Resposta
Concluímos que
está provado usando a definição de limite.