Use a definição de limite para provar que: lim x 0(x^2+2 x+1)=1

Passo 1

Aqui, queremos provar usando a definição de limite que . Para isso, vamos precisar entender a definição formal de limite, que nos ajuda a mostrar que, à medida que se aproxima de 0, a expressão se aproxima de 1.

Passo 2

A definição de limite diz que para todo , existe um tal que sempre que , então . Nosso objetivo é encontrar um que funcione para qualquer dado.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão |(x^2 + 2x + 1) - 1| = |x^2 + 2x| :
Agora, queremos que .

Passo 4

Podemos fatorar a expressão:
|x^2 + 2x| = |x(x + 2)| = |x| cdot |x + 2|
Para facilitar, vamos limitar |x + 2| <= |x| + 2 < 1 + 2 = 3 a ser menor que 1, ou seja, . Assim, fica:

Passo 5

Agora, temos:
|x| cdot |x + 2| < |x| cdot 3 = 3|x|
Queremos que . Para isso, basta escolher .

Passo 6

Portanto, podemos definir de como:
|x^2 + 2x| < 3|x| < epsilon
Assim, sempre que , teremos:
Isso satisfaz a definição de limite.

Resposta

Concluímos que está provado usando a definição de limite.

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