Calcule as integrais: integral x^3 cos 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está ligado ao cálculo de integrais, mais especificamente usando o método de integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica várias vezes para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será e o que será . Geralmente, escolhemos para ser uma função que simplifica quando derivada e para ser a parte restante que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos escolher du = 3x^2 , dx porque quando derivamos, reduzimos o grau do polinômio, o que é útil. Então, calculamos :
E o que sobra para será . Agora, vamos integrar para encontrar .

Passo 4

Integrando v = integral cos 2x , dx = 12 sin 2x , temos:
Agora temos todos os componentes para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 5

Aplicando a fórmula, temos:
integral x^3 cos 2x , dx = u cdot v - integral v , du = x^3 cdot 12 sin 2x - integral 12 sin 2x cdot 3x^2 , dx
Simplificando:
= 12 x^3 sin 2x - 32 integral x^2 sin 2x , dx
Agora, precisamos resolver a nova integral , aplicando novamente integração por partes.

Passo 6

Para du = 2x , dx , escolhemos v = -12 cos 2x e integral x^2 sin 2x , dx = u cdot v - integral v , du = x^2 cdot (-12cos 2x) - integral (-12cos 2x) cdot 2x , dx .
Calculando = -12 x^2 cos 2x + integral x cos 2x , dx e :
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Agora, precisamos resolver , aplicando integração por partes mais uma vez.

Passo 7

Para du = dx , escolhemos v = 12 sin 2x e integral x cos 2x , dx = u cdot v - integral v , du = x cdot 12 sin 2x - integral 12 sin 2x , dx .
Calculando = 12 x sin 2x - 12 cdot (-12 cos 2x) = 12 x sin 2x + 14 cos 2x e :
Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 8

Voltando para a etapa anterior, onde tínhamos:
integral x^2 sin 2x , dx = -12 x^2 cos 2x + (12 x sin 2x + 14 cos 2x)
Simplificando:
= -12 x^2 cos 2x + 12 x sin 2x + 14 cos 2x

Passo 9

Voltando à integral original, tínhamos:
integral x^3 cos 2x , dx = 12 x^3 sin 2x - 32 ( -12 x^2 cos 2x + 12 x sin 2x + 14 cos 2x )
Distribuindo o = 12 x^3 sin 2x + 34 x^2 cos 2x - 34 x sin 2x - 38 cos 2x :

Resposta

A integral de 12 x^3 sin 2x + 34 x^2 cos 2x - 34 x sin 2x - 38 cos 2x + C é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados