Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Isso está ligado ao cálculo de integrais, mais especificamente usando o método de integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica várias vezes para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher o que será
e o que será
. Geralmente, escolhemos
para ser uma função que simplifica quando derivada e
para ser a parte restante que é fácil de integrar.
Passo 3
Vamos escolher
porque quando derivamos, reduzimos o grau do polinômio, o que é útil. Então, calculamos
:
E o que sobra para
será
. Agora, vamos integrar
para encontrar
.
Passo 4
Integrando
, temos:
Agora temos todos os componentes para aplicar a fórmula de integração por partes.
Passo 5
Aplicando a fórmula, temos:
Simplificando:
Agora, precisamos resolver a nova integral
, aplicando novamente integração por partes.
Passo 6
Para
, escolhemos
e
.
Calculando e
:
Calculando
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Agora, precisamos resolver
, aplicando integração por partes mais uma vez.
Passo 7
Para
, escolhemos
e
.
Calculando e
:
Calculando
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 8
Voltando para a etapa anterior, onde tínhamos:
Simplificando:
Passo 9
Voltando à integral original, tínhamos:
Distribuindo o
:
Resposta
A integral de
é:
onde
é a constante de integração.