Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral
. A gente vai usar conhecimentos de cálculo, especificamente técnicas de substituição para integrais. Vamos precisar entender como fazer uma troca de variável para simplificar a integral e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que a gente pode substituir por uma nova variável. Olha só, no denominador temos
. Vamos fazer uma substituição para simplificar isso. Vamos deixar:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o diferencial
em termos de
. Derivando
em relação a
, temos:
Isso nos dá uma relação para substituir
na integral.
Passo 4
Observa que no numerador da integral original temos
. Podemos reescrever isso como
. Usando a substituição que fizemos, sabemos que
. Então:
Passo 5
Lembrando que
, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo isso na expressão anterior:
Passo 6
Agora, vamos reescrever toda a integral em termos de
:
Passo 7
Vamos simplificar a integral:
Passo 8
Agora, integraremos termo a termo:
As integrais são conhecidas:
Passo 9
Substituindo as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Agora, distribuindo o
:
Passo 11
Por fim, voltamos à variável original
. Lembrando que
, temos:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.