Calcule as integrais: integral x^5raiz1-x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral . A gente vai usar conhecimentos de cálculo, especificamente técnicas de substituição para integrais. Vamos precisar entender como fazer uma troca de variável para simplificar a integral e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que a gente pode substituir por uma nova variável. Olha só, no denominador temos u = 1 - x^3 . Vamos fazer uma substituição para simplificar isso. Vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial du = -3x^2 , dx em termos de . Derivando em relação a , temos:
Isso nos dá uma relação para substituir na integral.

Passo 4

Observa que no numerador da integral original temos x^5 , dx = x^3 cdot x^2 , dx = x^3 (-du3) = -x^33 , du . Podemos reescrever isso como . Usando a substituição que fizemos, sabemos que . Então:

Passo 5

Lembrando que x^3 = 1 - u , podemos expressar x^5 , dx = -1 - u3 , du em termos de :
Substituindo isso na expressão anterior:

Passo 6

Agora, vamos reescrever toda a integral em termos de integral x^5raiz1 - x^3 , dx = integral -1 - u3raizu , du = -13 integral 1 - uraizu , du :

Passo 7

Vamos simplificar a integral:
-13 integral 1raizu - uraizu , du = -13 integral u^-1/2 - u^1/2 , du

Passo 8

Agora, integraremos termo a termo:
-13 ( integral u^-1/2 , du - integral u^1/2 , du )
As integrais são conhecidas:
integral u^-1/2 , du = 2u^1/2
integral u^1/2 , du = 23u^3/2

Passo 9

Substituindo as integrais:
-13 ( 2u^1/2 - 23u^3/2 ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Agora, distribuindo o -23u^1/2 + 29u^3/2 + C :

Passo 11

Por fim, voltamos à variável original -23raiz1 - x^3 + 29(1 - x^3)^3/2 + C . Lembrando que , temos:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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