Calcule as integrais integral e^3 x cos x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse tipo de integral envolve funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será e o que será . Normalmente, escolhemos como a função que simplifica quando derivada, e como o restante.

Passo 3

Vamos definir:
u = e^3x e dv = cos x , dx
Agora, vamos calcular du = ddx e^3x , dx = 3 e^3x , dx e v = integral cos x , dx = sin x :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^3x cos x , dx = u , v - integral v , du
= e^3x sin x - integral sin x cdot 3 e^3x , dx
= e^3x sin x - 3 integral e^3x sin x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral u = e^3x e dv = sin x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes nesse termo. Definimos:
du = 3 e^3x , dx
Calculando v = -cos x e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral e^3x sin x , dx = u , v - integral v , du
= -e^3x cos x - integral (-cos x) cdot 3 e^3x , dx
= -e^3x cos x + 3 integral e^3x cos x , dx

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na equação anterior:
integral e^3x cos x , dx = e^3x sin x - 3 ( -e^3x cos x + 3 integral e^3x cos x , dx )
= e^3x sin x + 3 e^3x cos x - 9 integral e^3x cos x , dx

Passo 8

Vamos chamar a integral original de I = integral e^3x cos x , dx :
I = e^3x sin x + 3 e^3x cos x - 9 I
Substituindo na equação:

Passo 9

Agora, vamos resolver para I + 9I = e^3x sin x + 3 e^3x cos x :
10 I = e^3x (sin x + 3 cos x)
I = e^3x (sin x + 3 cos x)10 + C

Resposta

A integral e^3x (3 cos x + sin x)10 + C é igual a:

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