Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral e interprete o resultado como uma área ou uma diferença entre áreas. integral1^9 raizx d x

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Cálculo que pede para calcular a integral definida de √x de 1 a 9 usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Basicamente, vamos encontrar a área sob a curva da função √x entre esses dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ela diz que se você tem uma função contínua integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a) no intervalo e é uma antiderivada de , então:
Isso quer dizer que para calcular a integral definida, a gente só precisa encontrar uma antiderivada da função e avaliar essa antiderivada nos pontos de cima e de baixo da integral.

Passo 3

Nossa função é integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C . Vamos reescrever isso como F(x) = integral x^1/2 , dx = x^1/2 + 11/2 + 1 = x^3/23/2 = 23 x^3/2 para facilitar a integração. Agora, precisamos encontrar uma antiderivada para .
A regra de integração para potências diz que:
onde e é a constante de integração. No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora que temos a antiderivada integral1^9 raizx , dx = F(9) - F(1) = 23 (9)^3/2 - 23 (1)^3/2 , vamos aplicar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida:

Passo 5

Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro, calculemos 9^3/2 = (9^1/2)^3 = (3)^3 = 27 :
1^3/2 = (1^1/2)^3 = (1)^3 = 1
Segundo, calculemos :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
23 times 27 - 23 times 1 = 543 - 23 = 18 - 23 = 543 - 23 = 523

Resposta

A integral é igual a . Isso representa a área sob a curva da função entre e .

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