Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral e interprete o resultado como uma área ou uma diferença entre áreas.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Cálculo que pede para calcular a integral definida de √x de 1 a 9 usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Basicamente, vamos encontrar a área sob a curva da função √x entre esses dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ela diz que se você tem uma função contínua no intervalo e é uma antiderivada de , então:
Isso quer dizer que para calcular a integral definida, a gente só precisa encontrar uma antiderivada da função e avaliar essa antiderivada nos pontos de cima e de baixo da integral.

Passo 3

Nossa função é . Vamos reescrever isso como para facilitar a integração. Agora, precisamos encontrar uma antiderivada para .
A regra de integração para potências diz que:
onde e é a constante de integração. No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora que temos a antiderivada , vamos aplicar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida:

Passo 5

Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro, calculemos :
Segundo, calculemos :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a . Isso representa a área sob a curva da função entre e .

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Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral e interprete o resultado como uma área ou uma diferença entre áreas. .
Calcule as integrais .
Calcule a integral. ;
Calcule a integral. ;