Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral e interprete o resultado como uma área ou uma diferença entre áreas.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Cálculo que pede para calcular a integral definida de √x de 1 a 9 usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Basicamente, vamos encontrar a área sob a curva da função √x entre esses dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ela diz que se você tem uma função contínua
no intervalo
e
é uma antiderivada de
, então:
Isso quer dizer que para calcular a integral definida, a gente só precisa encontrar uma antiderivada da função e avaliar essa antiderivada nos pontos de cima e de baixo da integral.
Passo 3
Nossa função é
. Vamos reescrever isso como
para facilitar a integração. Agora, precisamos encontrar uma antiderivada
para
.
A regra de integração para potências diz que:
onde
e
é a constante de integração. No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora que temos a antiderivada
, vamos aplicar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida:
Passo 5
Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro, calculemos
:
Segundo, calculemos
:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a
. Isso representa a área sob a curva da função
entre
e
.
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.
Calcule as integrais
.
Calcule a integral.
;
Calcule a integral.
;