Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
definida por
que passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
que passa pelo ponto
. Então, estamos trabalhando com derivadas (cálculo), especificamente buscando uma reta que toque o gráfico de
em apenas um ponto e que também passe por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente em um ponto
na função
tem a equação:
Aqui,
é o valor da função no ponto
e
é a derivada da função nesse ponto, que representa a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra do poder:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 4
Agora, sabemos que a reta tangente deve passar pelo ponto
. Vamos substituir
e
na equação da reta tangente:
Simplificando a equação:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Então, o ponto de tangência é quando
.
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar
e
:
Passo 7
Agora, usando a equação da reta tangente:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é
.
Exercícios relacionados
Dada a curva
, determine, se possível: a equação da reta tangente à curva nos pontos onde a inclinação é
.
Dada a curva
, determine, se possível: os pontos da curva onde a reta tangente é paralela à reta
.
Calcule as integrais
.
Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral e interprete o resultado como uma área ou uma diferença entre áreas.
.