Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função definida por que passa pelo ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função que passa pelo ponto . Então, estamos trabalhando com derivadas (cálculo), especificamente buscando uma reta que toque o gráfico de em apenas um ponto e que também passe por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente em um ponto na função tem a equação:
Aqui, é o valor da função no ponto e é a derivada da função nesse ponto, que representa a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Usando a regra do poder:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 4

Agora, sabemos que a reta tangente deve passar pelo ponto . Vamos substituir e na equação da reta tangente:
Simplificando a equação:

Passo 5

Vamos resolver para :
Então, o ponto de tangência é quando .

Passo 6

Agora que temos , vamos encontrar e :

Passo 7

Agora, usando a equação da reta tangente:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

Exercícios relacionados

Dada a curva , determine, se possível: a equação da reta tangente à curva nos pontos onde a inclinação é .
Dada a curva , determine, se possível: os pontos da curva onde a reta tangente é paralela à reta .
Calcule as integrais .
Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral e interprete o resultado como uma área ou uma diferença entre áreas. .