Calcule as integrais: integral ( 3 x ^ 2 + x + 1 x ^ 3 ) d x longdiv x ^ 3 + x ^ 2 2 - 1 2 x ^ 2 + k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma função que é uma divisão entre dois polinômios. A matéria que vamos precisar aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração de funções racionais onde o numerador é a derivada do denominador. Vamos precisar identificar essa relação para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que está no numerador e no denominador da nossa integral:
integral 3x^2 + x + 1x^3x^3 + x^22 - 12x^2 + k , dx
Aqui, o numerador é e o denominador é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se o numerador é a derivada do denominador. Ou seja, vamos calcular a derivada do denominador em relação a ddx(x^3 + x^22 - 12x^2 + k) = 3x^2 + x + 1x^3 :
Viu só? A derivada do denominador é exatamente o numerador da nossa integral!

Passo 4

Quando o numerador de uma fração dentro da integral é a derivada do denominador, podemos simplificar a integral usando a fórmula:
integral f'(x)f(x) , dx = ln|f(x)| + C
Isso facilita muito nosso cálculo!

Passo 5

Aplicando a fórmula que acabamos de ver, temos:
integral 3x^2 + x + 1x^3x^3 + x^22 - 12x^2 + k , dx = ln|x^3 + x^22 - 12x^2 + k| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
ln|x^3 + x^22 - 12x^2 + k| + C

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