Calcule as integrais:
integral x e^a x d x com a neq 0

Passo 1

A gente precisa calcular a integral , onde . Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é o produto de duas funções.

Passo 2

O método de integração por partes é baseado na fórmula:
integral u , dv = u v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = x e dv = e^a x , dx
Com isso, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = dx e v = integral e^a x , dx = 1a e^a x :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x e^a x , dx = u v - integral v , du = x cdot 1a e^a x - integral 1a e^a x , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral que ficou:
integral 1a e^a x , dx = 1a^2 e^a x + C

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral x e^a x , dx = x e^a xa - e^a xa^2 + C

Resposta

A integral é:
integral x e^a x , dx = e^a xa ( x - 1a ) + C

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