A meia-vida do paládio-100,
, é quatro dias. (Assim, metade de qualquer quantidade dada de
se desintegrará em quatro dias.) A massa inicial de uma amostra é uma grama.
© Encontre a inversa dessa função e explique o significado.
© Encontre a inversa dessa função e explique o significado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o decaimento radioativo do paládio-100, que tem meia-vida de quatro dias. A ideia aqui é encontrar a função inversa dessa relação e entender o que ela representa. Para isso, vamos precisar trabalhar com funções exponenciais e manipular um pouco a matemática para inverter a relação entre massa e tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a função que descreve o decaimento do paládio-100. Sabemos que a meia-vida é de quatro dias, ou seja, a cada quatro dias a quantidade de paládio se reduz pela metade. A fórmula que representa isso é:
Aqui,
-
é a massa restante no tempo , -
é a massa inicial, -
é a meia-vida.
Passo 3
No nosso caso, a massa inicial
é 1 grama e a meia-vida
é 4 dias. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Então, nossa função que relaciona a massa
com o tempo
é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a função inversa, ou seja, precisamos expressar
em função de
. Para isso, vamos resolver a equação para
.
Começamos com:
A primeira coisa que vamos fazer é aplicar o logaritmo na base 2 dos dois lados para facilitar:
Sabemos que
, então simplificamos:
Agora, isolando
:
Podemos também escrever usando logaritmo natural (ln) se preferir:
Então, a função inversa
é:
Passo 5
Vamos entender o que essa função inversa significa. Enquanto a função original
nos dá a massa restante depois de certo tempo, a função inversa
nos diz quanto tempo leva para que a massa do paládio-100 se reduza para uma determinada quantidade. Ou seja, se você quiser saber em quantos dias a massa cai para, por exemplo, 0,25 gramas, você usaria a função inversa para descobrir esse tempo.
Resposta
A função inversa é:
Essa função indica o tempo necessário para que a massa do paládio-100 decaia até um valor
específico.
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com
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Suponha que a FIAT automóveis estima o custo de produção de x portas do modelo UNO VIVACE utilizando a seguinte função custo:
Sabe-se que o custo marginal de produção é determinado derivando-se a função custo. Desta forma qual será o custo marginal de produção por porta da FIAT automóveis neste mês, ao produzir suas expectativas que é de 500 portas para o modelo UNO VIVACE.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
(ENADE 2011) - Os analistas financeiros de uma empresa chegaram a um modelo matemático que permite calcular a arrecadação mensal da empresa ao longo de 24 meses, por meio da função
em que é o tempo, em meses, e a arrecadação
é dada em milhões de reais. Encontre os pontos críticos da função.
em que