A meia-vida do paládio-100, , é quatro dias. (Assim, metade de qualquer quantidade dada de se desintegrará em quatro dias.) A massa inicial de uma amostra é uma grama.
© Encontre a inversa dessa função e explique o significado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o decaimento radioativo do paládio-100, que tem meia-vida de quatro dias. A ideia aqui é encontrar a função inversa dessa relação e entender o que ela representa. Para isso, vamos precisar trabalhar com funções exponenciais e manipular um pouco a matemática para inverter a relação entre massa e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a função que descreve o decaimento do paládio-100. Sabemos que a meia-vida é de quatro dias, ou seja, a cada quatro dias a quantidade de paládio se reduz pela metade. A fórmula que representa isso é:
Aqui,
  • é a massa restante no tempo ,
  • é a massa inicial,
  • é a meia-vida.

Passo 3

No nosso caso, a massa inicial é 1 grama e a meia-vida é 4 dias. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Então, nossa função que relaciona a massa com o tempo é:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a função inversa, ou seja, precisamos expressar em função de . Para isso, vamos resolver a equação para .
Começamos com:
A primeira coisa que vamos fazer é aplicar o logaritmo na base 2 dos dois lados para facilitar:
Sabemos que , então simplificamos:
Agora, isolando :
Podemos também escrever usando logaritmo natural (ln) se preferir:
Então, a função inversa é:

Passo 5

Vamos entender o que essa função inversa significa. Enquanto a função original nos dá a massa restante depois de certo tempo, a função inversa nos diz quanto tempo leva para que a massa do paládio-100 se reduza para uma determinada quantidade. Ou seja, se você quiser saber em quantos dias a massa cai para, por exemplo, 0,25 gramas, você usaria a função inversa para descobrir esse tempo.

Resposta

A função inversa é:
Essa função indica o tempo necessário para que a massa do paládio-100 decaia até um valor específico.

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a)
b)
c)
d)
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