Usando indução, mostre as seguintes afirmações: n^3 - n é múltiplo de 3 para n in N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar, usando indução matemática, que é múltiplo de 3 para todo número natural n. Então, o conteúdo aqui é indução matemática e divisibilidade por 3. Vamos precisar entender como funciona a indução e mostrar que a expressão sempre será divisível por 3.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso inicial, ou seja, quando . Substituindo na expressão:
Como 0 é múltiplo de 3 (porque ), o caso inicial funciona direitinho!

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para algum número natural k. Ou seja, assumimos que:
éú
Isso significa que existe um número inteiro m tal que:

Passo 4

Com essa suposição, vamos provar que a afirmação também vale para . Vamos calcular:
Expande-se o cubo:
Então:

Passo 5

Agora, vamos reescrever essa expressão:
Pelo passo 3, sabemos que , então:
Isso mostra que também é múltiplo de 3, já que é 3 vezes um número inteiro.

Resposta

Concluímos, por indução matemática, que para todo n in N, é múltiplo de 3.

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