Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é múltiplo de 3 para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar, usando indução matemática, que
é múltiplo de 3 para todo número natural
. Então, o conteúdo aqui é indução matemática e divisibilidade por 3. Vamos precisar entender como funciona a indução e mostrar que a expressão sempre será divisível por 3.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso inicial, ou seja, quando
. Substituindo na expressão:
Como 0 é múltiplo de 3 (porque
), o caso inicial funciona direitinho!
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para algum número natural
. Ou seja, assumimos que:
Isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Passo 4
Com essa suposição, vamos provar que a afirmação também vale para
. Vamos calcular:
Expande-se o cubo:
Então:
Passo 5
Agora, vamos reescrever essa expressão:
Pelo passo 3, sabemos que
, então:
Isso mostra que
também é múltiplo de 3, já que é 3 vezes um número inteiro.
Resposta
Concluímos, por indução matemática, que para todo
,
é múltiplo de 3.
Exercícios relacionados
Determine a função inversa das seguintes funções:
(d)
(d)
Determine f e g , dado que
©
©
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Calcule as integrais:
com