Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar, usando indução matemática, que o produto
é menor ou igual a
para todo número natural
. Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica que permite provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, que geralmente é quando
. Substituindo:
E
Então,
, o que é verdade. Isso significa que nossa base da indução está ok!
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, assumimos que:
Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Ou seja, devemos mostrar que:
Passo 5
Vamos usar a hipótese de indução aqui. Sabemos que:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão do lado direito:
Então, temos:
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo
,
Exercícios relacionados
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é múltiplo de 3 para
.
Determine a função inversa das seguintes funções:
(d)
(d)
Calcule as integrais:
com
A meia-vida do paládio-100,
, é quatro dias. (Assim, metade de qualquer quantidade dada de
se desintegrará em quatro dias.) A massa inicial de uma amostra é uma grama.
© Encontre a inversa dessa função e explique o significado.
© Encontre a inversa dessa função e explique o significado.