Usando indução, mostre as seguintes afirmações: (1 + 1/1)(1 + 1/2)(1 + 1/3) ... (1 + 1/n) <= n + 1 para n in N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar, usando indução matemática, que o produto é menor ou igual a n + 1 para todo número natural n. Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica que permite provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, que geralmente é quando n = 1. Substituindo:
E
Então, , o que é verdade. Isso significa que nossa base da indução está ok!

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural k. Ou seja, assumimos que:
Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para k, então ela também é verdadeira para k + 1. Ou seja, devemos mostrar que:

Passo 5

Vamos usar a hipótese de indução aqui. Sabemos que:
Agora, multiplicamos ambos os lados por :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão do lado direito:
Então, temos:

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo n in N,

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