Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar, usando indução matemática, que o produto é menor ou igual a para todo número natural . Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica que permite provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, que geralmente é quando . Substituindo:
E
Então, , o que é verdade. Isso significa que nossa base da indução está ok!

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Ou seja, assumimos que:
Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Ou seja, devemos mostrar que:

Passo 5

Vamos usar a hipótese de indução aqui. Sabemos que:
Agora, multiplicamos ambos os lados por :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão do lado direito:
Então, temos:

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo ,

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Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é múltiplo de 3 para .
Determine a função inversa das seguintes funções:
(d)
Calcule as integrais:
com
A meia-vida do paládio-100, , é quatro dias. (Assim, metade de qualquer quantidade dada de se desintegrará em quatro dias.) A massa inicial de uma amostra é uma grama.
© Encontre a inversa dessa função e explique o significado.