Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotaçāo em torno do eixo , da região limitada por e . Fazer a representação geométrica da regiāo plana e do sólido gerado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas e ao redor do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar onde as duas curvas se intersectam para determinar os limites de integração. Vamos resolver a equação .
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são e .
Passo 3
Agora, vamos identificar qual das funções está acima da outra no intervalo . Podemos avaliar em um ponto, por exemplo, :
Então, está acima de .
Passo 4
Usaremos o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, e , com e .
Passo 5
Vamos montar a integral:
Primeiro, expandimos os termos:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Calculando a diferença:
Resposta
O volume do sólido de revolu��ão é unidades cúbicas.