Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotaçāo em torno do eixo , da região limitada por e . Fazer a representação geométrica da regiāo plana e do sólido gerado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas e ao redor do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar onde as duas curvas se intersectam para determinar os limites de integração. Vamos resolver a equação .
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são e .

Passo 3

Agora, vamos identificar qual das funções está acima da outra no intervalo . Podemos avaliar em um ponto, por exemplo, :
Então, está acima de .

Passo 4

Usaremos o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, e , com e .

Passo 5

Vamos montar a integral:
Primeiro, expandimos os termos:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Calculando a diferença:

Resposta

O volume do sólido de revolu��ão é unidades cúbicas.

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Determine área da região limitada por . Fazer a representação geométrica.
Calcule as integrais:
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