Calcule as integrais:
(e) integral x tg x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração por substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser simplificada usando uma mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que possa simplificar a integral. Observando a função , percebemos que o argumento da tangente é . Então, vamos definir .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x ,dx para substituir x ,dx = 12 du . Calculando, temos:
Isso significa que:
Ou seja:

Passo 4

Com a substituição feita, vamos reescrever a integral em termos de integral x tg x^2 ,dx = integral tg u cdot 12 du = 12 integral tg u , du :

Passo 5

Agora, precisamos integrar integral tg u , du = -ln |cos u| + C . Sabemos que a integral da tangente é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo de volta 12 integral tg u , du = 12 ( -ln |cos x^2| ) + C = -12 ln |cos x^2| + C , temos:

Resposta

A integral é igual a .

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