Calcule as integrais:
(q) integral sen(2 x) cos x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com a integração de funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar o produto de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que transforma o produto de senos e cossenos em somas:
sin a cos b = 12 [ sin(a + b) + sin(a - b) ]
Aqui, podemos aplicar e .

Passo 3

Aplicando a identidade:
sin(2x) cos x = 12 [ sin(2x + x) + sin(2x - x) ] = 12 [ sin(3x) + sin(x) ]

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral sin(2x) cos x , dx = 12 integral [ sin(3x) + sin(x) ] , dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
12 ( integral sin(3x) , dx + integral sin(x) , dx )
A integral de é .

Passo 6

Calculando as integrais:
12 ( -13 cos(3x) - cos(x) ) + C

Passo 7

Simplificando:
-16 cos(3x) - 12 cos(x) + C

Resposta

A integral é:
-16 cos(3x) - 12 cos(x) + C

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