Calcule as integrais:
(l) integral e^2 x4+4 e^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício: calcular a integral
integral e^2x4 + 4 e^4x , dx
Esse exercício está no conteúdo de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais que envolvem funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão e torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, podemos simplificar a expressão no denominador. Observe que:
4 + 4 e^4x = 4(1 + e^4x)
Então, a integral fica:
integral e^2x4(1 + e^4x) , dx = 14 integral e^2x1 + e^4x , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
u = e^2x
Então, a derivada de du = 2 e^2x , dx Rightarrow du2 = e^2x , dx em relação a é:

Passo 4

Substituindo 14 integral e^2x1 + e^4x , dx = 14 integral 11 + u^2 cdot du2 = 18 integral 11 + u^2 , du e na integral, temos:

Passo 5

Agora, reconhecemos que a integral
integral 11 + u^2 , du
é a conhecida função arco-tangente, ou seja:
integral 11 + u^2 , du = arctan(u) + C
Então, substituindo de volta:
18 arctan(u) + C = 18 arctan(e^2x) + C

Resposta

A integral vale:
18 arctan(e^2x) + C

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