Certa quantidade de ar é bombeada para dentro de uma bexiga esférica a uma taxa de 4,5 polegadas cúbicas por minuto. Determine a taxa de variação do raio quando este atingir 2 polegadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que estamos enchendo uma bexiga esférica com ar a uma taxa de 4,5 polegadas cúbicas por minuto. Precisamos descobrir quão rápido o raio da bexiga está aumentando quando o raio chega a 2 polegadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas ao volume de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de uma esfera:
Aqui,
é o volume e
é o raio da esfera.
Passo 3
Queremos relacionar as taxas de variação do volume e do raio. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia na derivada:
Aqui,
é a taxa de variação do volume e
é a taxa de variação do raio que queremos encontrar.
Passo 5
Sabemos que
polegadas cúbicas por minuto e que
polegadas. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 6
Simplificando a equação:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Resposta
A taxa de variação do raio quando ele atinge 2 polegadas é
polegadas por minuto.