Certa quantidade de ar é bombeada para dentro de uma bexiga esférica a uma taxa de 4,5 polegadas cúbicas por minuto. Determine a taxa de variação do raio quando este atingir 2 polegadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que estamos enchendo uma bexiga esférica com ar a uma taxa de 4,5 polegadas cúbicas por minuto. Precisamos descobrir quão rápido o raio da bexiga está aumentando quando o raio chega a 2 polegadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas ao volume de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de uma esfera:
Aqui, é o volume e é o raio da esfera.

Passo 3

Queremos relacionar as taxas de variação do volume e do raio. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo :

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia na derivada:
Aqui, é a taxa de variação do volume e é a taxa de variação do raio que queremos encontrar.

Passo 5

Sabemos que polegadas cúbicas por minuto e que polegadas. Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 6

Simplificando a equação:

Passo 7

Agora, isolamos :

Resposta

A taxa de variação do raio quando ele atinge 2 polegadas é polegadas por minuto.

Exercícios relacionados

Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos e ,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que .
Dada a função , faça o que se pede: Determine os valores críticos de ordem
Calcule as integrais