Certa quantidade de ar é bombeada para dentro de uma bexiga esférica a uma taxa de 4,5 polegadas cúbicas por minuto. Determine a taxa de variação do raio quando este atingir 2 polegadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que estamos enchendo uma bexiga esférica com ar a uma taxa de 4,5 polegadas cúbicas por minuto. Precisamos descobrir quão rápido o raio da bexiga está aumentando quando o raio chega a 2 polegadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas ao volume de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de uma esfera:
Aqui, é o volume e é o raio da esfera.

Passo 3

Queremos relacionar as taxas de variação do volume e do raio. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo :

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia na derivada:
Aqui, é a taxa de variação do volume e é a taxa de variação do raio que queremos encontrar.

Passo 5

Sabemos que polegadas cúbicas por minuto e que polegadas. Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 6

Simplificando a equação:

Passo 7

Agora, isolamos :

Resposta

A taxa de variação do raio quando ele atinge 2 polegadas é polegadas por minuto.

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