Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente envolvendo frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais, que ajuda a quebrar a expressão complicada em termos mais simples que são fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia aqui é escrever essa fração como a soma de duas frações, cada uma com um dos denominadores lineares originais. Ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 4
Expandindo os termos à direita:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
em função de
:
Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 7
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
Passo 8
Com as frações parciais, a integral original fica mais simples:
Passo 9
Agora, vamos integrar termo a termo. Sabemos que:
onde
é a constante de integração. Aplicando isso aos dois termos:
e
Passo 10
Substituindo de volta na integral, temos:
Podemos combinar os logaritmos usando a propriedade
:
Resposta
A integral resulta em: