Calcule as integrais: integral 5(x-1)(x+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 5(x-1)(x+4) dx. Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente envolvendo frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais, que ajuda a quebrar a expressão complicada em termos mais simples que são fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 5(x-1)(x+4) em frações parciais. A ideia aqui é escrever essa fração como a soma de duas frações, cada uma com um dos denominadores lineares originais. Ou seja:
5(x-1)(x+4) = Ax-1 + Bx+4

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores de A e B. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum (x-1)(x+4) para eliminar as frações:
5 = A(x + 4) + B(x - 1)

Passo 4

Expandindo os termos à direita:
5 = A x + 4A + B x - B
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
5 = (A + B)x + (4A - B)

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todo x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
A + B = 0 4A - B = 5

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar B em função de A:
B = -A
Substituindo na segunda equação:
4A - (-A) = 5 4A + A = 5 5A = 5 A = 1
Então, B = -1.

Passo 7

Agora que encontramos A = 1 e B = -1, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
5(x-1)(x+4) = 1x-1 - 1x+4

Passo 8

Com as frações parciais, a integral original fica mais simples:
integral 5(x-1)(x+4) dx = integral ( 1x-1 - 1x+4 ) dx

Passo 9

Agora, vamos integrar termo a termo. Sabemos que:
integral 1x - a dx = ln|x - a| + C
onde C é a constante de integração. Aplicando isso aos dois termos:
integral 1x-1 dx = ln|x - 1|
e
integral 1x+4 dx = ln|x + 4|

Passo 10

Substituindo de volta na integral, temos:
integral ( 1x-1 - 1x+4 ) dx = ln|x - 1| - ln|x + 4| + C
Podemos combinar os logaritmos usando a propriedade ln a - ln b = ln(ab):
ln(x - 1x + 4) + C

Resposta

A integral resulta em:
ln(x - 1x + 4) + C

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