Determine a equação da reta tangente da função no ponto dado usando a definição em

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à função no ponto onde . Vamos usar a definição de derivada para isso, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de para saber o ponto exato onde a reta tangente vai tocar a curva. Vamos substituir por na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos usar a definição de derivada para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A definição da derivada de em é:
Aqui, , então substituímos:

Passo 4

Vamos calcular :
Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 5

Simplificando a fração:
Então, a inclinação da reta tangente em é .

Passo 6

Agora que temos o ponto e a inclinação , podemos usar a forma da equação da reta tangente, que é:
Substituindo os valores:

Passo 7

Simplificando para a forma geral da equação da reta:

Resposta

A equação da reta tangente à função no ponto é:

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Determine a área da região delimitada pelas curvas e .
Calcule as integrais:
Mostre que a função
não é derivável em . Esboce o gráfico de .
Calcule as derivadas das funções abaixo