Determine a área da região delimitada pelas curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está delimitada pelas curvas , , e pelas retas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo que envolvem encontrar a área entre curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que cada equação representa no gráfico:
  • é uma parábola que abre para cima, deslocada 2 unidades para cima.
  • é uma reta que desce com inclinação -1 e intercepta o eixo y em 1.
  • é o eixo y.
  • é uma reta vertical passando por 1 no eixo x.

Passo 3

Para encontrar a área entre essas curvas, precisamos saber qual função está por cima e qual está por baixo no intervalo de a . Vamos calcular os valores das funções nesses pontos:
  • Em :
  • Em :
Isso mostra que, de a , a parábola está sempre acima da reta .

Passo 4

A área entre duas curvas, onde a superior é e a inferior é , no intervalo [a, b], é dada pela integral:
Á
Aqui, e , com e .

Passo 5

Vamos montar a integral substituindo as funções e os limites:
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Como estamos calculando uma área definida, não precisamos da constante . Avaliamos essa antiderivada de 0 a 1.

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Á
Simplificando:
Á

Passo 8

Vamos somar as frações:
Então:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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Determine a equação da reta tangente da função no ponto dado usando a definição em
Mostre que a função
não é derivável em . Esboce o gráfico de .