Determine a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está delimitada pelas curvas
,
, e pelas retas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo que envolvem encontrar a área entre curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que cada equação representa no gráfico:
-
é uma parábola que abre para cima, deslocada 2 unidades para cima. -
é uma reta que desce com inclinação -1 e intercepta o eixo y em 1. -
é o eixo y. -
é uma reta vertical passando por 1 no eixo x.
Passo 3
Para encontrar a área entre essas curvas, precisamos saber qual função está por cima e qual está por baixo no intervalo de
a
. Vamos calcular os valores das funções nesses pontos:
- Em
: -
- Em
: -
Isso mostra que, de
a
, a parábola
está sempre acima da reta
.
Passo 4
A área entre duas curvas, onde a superior é
e a inferior é
, no intervalo [a, b], é dada pela integral:
Aqui,
e
, com
e
.
Passo 5
Vamos montar a integral substituindo as funções e os limites:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Como estamos calculando uma área definida, não precisamos da constante
. Avaliamos essa antiderivada de 0 a 1.
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Passo 8
Vamos somar as frações:
Então:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.
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Determine a equação da reta tangente da função no ponto dado usando a definição
em
Mostre que a função
não é derivável em
. Esboce o gráfico de
.