Calcule as integrais
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
. Esse exercício envolve o conteúdo de integrais de funções racionais, que geralmente a gente resolve usando frações parciais. Para isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. Esse polinômio pode ser fatorado para facilitar nossa vida. Observando, vemos que:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos usar o método de frações parciais. Como o denominador é
, a gente propõe que a fração pode ser escrita como:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Expandindo a equação:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Isso significa que os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
- Para o termo
:
- Para o termo constante:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a fração original:
Agora, nossa integral fica:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
A integral de
é , então: -
Relembrando que
, então:
Passo 8
Juntando as integrais, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Considera a função
. É correto que:
é máximo local.
Calcule e justifique.
Considera a função
. É correto que:
é máximo local.
Calcule e justifique.