Calcule as integrais
(a)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de integrais de funções racionais, que geralmente a gente resolve usando frações parciais. Para isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador . Esse polinômio pode ser fatorado para facilitar nossa vida. Observando, vemos que:
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar o método de frações parciais. Como o denominador é , a gente propõe que a fração pode ser escrita como:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos encontrar os valores de e .

Passo 5

Expandindo a equação:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Isso significa que os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
  • Para o termo :
  • Para o termo constante:

Passo 6

Agora que encontramos e , podemos reescrever a fração original:
Agora, nossa integral fica:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. A integral de é , então:
  2. Relembrando que , então:

Passo 8

Juntando as integrais, temos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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Considera a função . É correto que:
é máximo local.
Calcule e justifique.
Considera a função . É correto que:
é máximo local.
Calcule e justifique.