Calcule as integrais
(a) integral x+3x^2-2 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de integrais de funções racionais, que geralmente a gente resolve usando frações parciais. Para isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 . Esse polinômio pode ser fatorado para facilitar nossa vida. Observando, vemos que:
integral x + 3(x - 1)^2 , dx
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar o método de frações parciais. Como o denominador é x + 3(x - 1)^2 = Ax - 1 + B(x - 1)^2 , a gente propõe que a fração pode ser escrita como:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por x + 3 = A(x - 1) + B para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos encontrar os valores de e .

Passo 5

Expandindo a equação:
x + 3 = A x - A + B
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
x + 3 = A x + (B - A)
Isso significa que os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
  • Para o termo 1 = A Rightarrow A = 1 :
3 = B - A Rightarrow B = 3 + A = 3 + 1 = 4
  • Para o termo constante:

Passo 6

Agora que encontramos x + 3(x - 1)^2 = 1x - 1 + 4(x - 1)^2 e integral ( 1x - 1 + 4(x - 1)^2 ) , dx , podemos reescrever a fração original:
Agora, nossa integral fica:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. ln|x - 1|
    A integral de -4x - 1 é , então:
  2. Relembrando que , então:

Passo 8

Juntando as integrais, temos:
ln|x - 1| - 4x - 1 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral ln|x - 1| - 4x - 1 + C é igual a:

Exercícios relacionados