Calcule e justifique. lim x 1 raizx-1raiz2 x+3-raiz5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 1 raizx-1raiz2 x+3-raiz5. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e eliminar as raízes, usando técnicas de racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que se substituirmos x = 1 diretamente na expressão, teremos uma forma indeterminada 00. Isso significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para eliminar as raízes, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de raiz2x+3 - raiz5 é raiz2x+3 + raiz5. Então, multiplicamos:
raizx-1raiz2x+3-raiz5 times raiz2x+3 + raiz5raiz2x+3 + raiz5

Passo 4

No numerador, temos (raizx - 1)(raiz2x+3 + raiz5). No denominador, usamos a diferença de quadrados: (raiz2x+3)^2 - (raiz5)^2 = (2x + 3) - 5 = 2x - 2.
Então, a expressão fica:
(raizx - 1)(raiz2x+3 + raiz5)2x - 2

Passo 5

Podemos fatorar o denominador 2x - 2 como 2(x - 1). Assim, temos:
(raizx - 1)(raiz2x+3 + raiz5)2(x - 1)

Passo 6

Agora, vamos observar que raizx - 1 pode ser escrito como x - 1raizx + 1, multiplicando e dividindo por raizx + 1 para racionalizar. Assim:
x - 1raizx + 1 (raiz2x+3 + raiz5)2(x - 1) = (raiz2x+3 + raiz5)2(raizx + 1)

Passo 7

Agora que simplificamos, podemos cancelar (x - 1) no numerador e denominador. Restou:
raiz2x+3 + raiz52(raizx + 1)

Passo 8

Finalmente, podemos substituir x = 1 na expressão simplificada:
raiz2(1)+3 + raiz52(raiz1 + 1) = raiz5 + raiz52(1 + 1) = 2raiz54 = raiz52

Resposta

O limite é raiz52.

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