Considera a função f(x, y) = -x^2 + 2xy - 2y^2 + 6x. É correto que:
8,4 é máximo local.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função de duas variáveis e precisa verificar se o ponto é um máximo local. Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para determinar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a x e y. As derivadas parciais nos ajudam a identificar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
A derivada parcial em relação a x é:
E a derivada parcial em relação a y é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde as derivadas parciais são iguais a zero:
Da equação (2), podemos simplificar:
Substituindo na equação (1):
Então, . Portanto, o ponto cr��tico é .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto crítico , vamos calcular as derivadas de segunda ordem para usar o teste da segunda derivada e determinar a natureza desse ponto.
As derivadas de segunda ordem são:

Passo 5

Com essas derivadas, calculamos o discriminante D:
Como e , isso indica que o ponto crítico é um máximo local.

Passo 6

Agora, vamos verificar se o ponto é realmente um máximo local. Substituindo nas derivadas parciais:
Como , o ponto não é um ponto crítico da função. Portanto, ele não pode ser um máximo local.

Resposta

Não, o ponto não é um máximo local da função f(x, y).

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