Considera a função
. É correto que:
é máximo local.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função de duas variáveis
e precisa verificar se o ponto
é um máximo local. Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para determinar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a identificar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde as derivadas parciais são iguais a zero:
Da equação (2), podemos simplificar:
Substituindo
na equação (1):
Então,
. Portanto, o ponto cr��tico é
.
Passo 4
Agora que encontramos o ponto crítico
, vamos calcular as derivadas de segunda ordem para usar o teste da segunda derivada e determinar a natureza desse ponto.
As derivadas de segunda ordem são:
Passo 5
Com essas derivadas, calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico
é um máximo local.
Passo 6
Agora, vamos verificar se o ponto
é realmente um máximo local. Substituindo
nas derivadas parciais:
Como
, o ponto
não é um ponto crítico da função. Portanto, ele não pode ser um máximo local.
Resposta
Não, o ponto
não é um máximo local da função
.
Exercícios relacionados
Calcule e justifique.
Considera a função
. É correto que:
é ponto de sela.
Calcule as integrais
(a)
(a)
Considera a função
. É correto que:
é máximo local.