Considera a função . É correto que:
é máximo local.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, , e queremos saber se o ponto é um máximo local. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender a inclinação da função em cada direção.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto para verificar se é um ponto crítico. Um ponto crítico ocorre quando ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Calculando em :
Calculando em :
Como ambas as derivadas são zero no ponto , esse é um ponto crítico.

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo local, mínimo local ou um ponto de sela, usamos o teste da segunda derivada. Isso envolve calcular as segundas derivadas parciais e formar a matriz Hessiana.
As segundas derivadas são:

Passo 5

Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana ( ):

Passo 6

Interpretando o valor de :
  • Se e , então temos um máximo local.
  • Se e , então temos um mínimo local.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e , então temos um máximo local no ponto .

Resposta

Sim, o ponto é um máximo local da função .

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Calcule as integrais
(a)
Considera a função . É correto que:
é máximo local.
Calcule e justifique.