Considera a função
. É correto que:
é máximo local.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma função de duas variáveis,
, e queremos saber se o ponto
é um máximo local. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender a inclinação da função em cada direção.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
para verificar se é um ponto crítico. Um ponto crítico ocorre quando ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Calculando
em
:
Calculando
em
:
Como ambas as derivadas são zero no ponto
, esse é um ponto crítico.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo local, mínimo local ou um ponto de sela, usamos o teste da segunda derivada. Isso envolve calcular as segundas derivadas parciais e formar a matriz Hessiana.
As segundas derivadas são:
Passo 5
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana (
):
Passo 6
Interpretando o valor de
:
- Se
e , então temos um máximo local. - Se
e , então temos um mínimo local. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
, então temos um máximo local no ponto
.
Resposta
Sim, o ponto
é um máximo local da função
.
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Calcule as integrais
(a)
(a)
Considera a função
. É correto que:
é máximo local.
Calcule e justifique.