Calcule as integrais: integral e^x7+e^x d x.

Passo 1

Então, você quer calcular a integral . A gente está lidando com cálculo de integrais, especificamente integrais que envolvem funções exponenciais. Pra resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos chamar o denominador de u = 7 + e^x :
Isso significa que é igual a mais .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = e^x em relação a du = e^x , dx para substituir na integral. Derivando ambos os lados:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Observamos que na integral original temos integral e^x7 + e^x , dx = integral duu no numerador, que é exatamente da nossa substituição. Então, podemos substituir na integral:

Passo 5

A integral integral duu = ln|u| + C é uma forma padrão que sabemos como resolver. Ela é igual ao logaritmo natural de mais a constante de integração:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos substituir de volta o valor de ln|u| + C = ln|7 + e^x| + C que definimos no início:
ln(7 + e^x) + C
Como é sempre positivo, podemos simplificar para:

Resposta

A integral é igual a .

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