Calcule as integrais:
.
Passo 1
Então, você quer calcular a integral
. A gente está lidando com cálculo de integrais, especificamente integrais que envolvem funções exponenciais. Pra resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos chamar o denominador de
:
Isso significa que
é igual a
mais
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir na integral. Derivando ambos os lados:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 4
Observamos que na integral original temos
no numerador, que é exatamente
da nossa substituição. Então, podemos substituir na integral:
Passo 5
A integral
é uma forma padrão que sabemos como resolver. Ela é igual ao logaritmo natural de
mais a constante de integração:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos substituir de volta o valor de
que definimos no início:
Como
é sempre positivo, podemos simplificar para:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a metade inferior do círculo unitário
.
A integral representa a área de uma região do plano:
Calcule a área dessa região (integral).
Determine se a sequencia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Verifique que a série abaixo converge e calcule sua soma.